Háromszög szögek. „Poliéderes szög” bemutatása Függőleges poliéderszögek
1 csúszda
KONVEX SZÖVEGSZÖGEK A poliéder szögét konvexnek nevezzük, ha konvex alakzat, azaz bármelyik két pontjával együtt teljes egészében tartalmazza az azokat összekötő szakaszt. Az ábra példákat mutat be konvex és nem konvex poliéderszögekre. Tétel. Egy konvex poliéderszög összes síkszögének összege kisebb, mint 360°.
2 csúszda
KONVEX POLIÉDEK Egy poliéderszöget konvexnek nevezünk, ha konvex alakzat, azaz bármelyik két pontjával együtt teljes egészében tartalmazza az őket összekötő szakaszt. Az ábra konvex és nem konvex piramis példáit mutat be. A kocka, a paralelepipedon, a háromszög hasáb és a gúla konvex poliéderek.
3 csúszda
1. TULAJDONSÁG 1. tulajdonság. Egy konvex poliéderben minden lap konvex sokszög. Valóban, legyen F az M poliéder valamely lapja, az A és B pont pedig az F laphoz tartozik. Az M poliéder konvexitási feltételéből következik, hogy az AB szakaszt teljes egészében az M poliéder tartalmazza. szakasz az F sokszög síkjában fekszik, teljes egészében ebben a sokszögben lesz benne, azaz F egy konvex sokszög.
4 csúszda
2. TULAJDONSÁG Valóban, legyen M konvex poliéder. Vegyük az M poliéder valamelyik belső S pontját, azaz egy olyan pontot, amely nem tartozik az M poliéder egyik lapjához sem. Kössük szegmensekkel az S pontot az M poliéder csúcsaival. Vegye figyelembe, hogy az M poliéder konvexitása miatt ezeket a szegmenseket az M tartalmazza. Tekintsünk olyan S csúcsú piramisokat, amelyek alapjai az M poliéder lapjai. Ezeket a piramisokat teljes egészében az M tartalmazza, és együtt alkotnak az M poliéder. 2. tulajdonság. Bármely konvex poliéder összeállítható közös csúcsú gúlákból, amelyek alapjai egy poliéder felületét alkotják.
5 csúszda
1. gyakorlat Az ábrán jelöljön konvex és nem konvex síkidomokat! Válasz: a), d) – konvex; b), c) – nem konvex.
6 csúszda
2. gyakorlat Konvex alakzatok metszéspontja mindig konvex alak? Válasz: Igen.
7 csúszda
3. gyakorlat A konvex alakok uniója mindig konvex alak? Válasz: Nem.
8 csúszda
4. gyakorlat Képes-e konvex tetraéderszöget kialakítani a következő lapos szögekkel: a) 56o, 98o, 139o és 72o; b) 32o, 49o, 78o és 162o; c) 85o, 112o, 34o és 129o; d) 43o, 84o, 125o és 101o. Nincs válasz; b) igen; c) nem; d) igen.
9. dia
5. gyakorlat Az ábrán jelölje meg a konvex és a nem konvex poliédereket! Válasz: b), d) – konvex; a), c), d) – nem konvex.
10 csúszda
6. gyakorlat Lehet-e nem konvex sokszög egy konvex poliéder lapja? Válasz: Nem.
1. dia
2. dia
Tétel. Háromszögben a síkszögek összege kisebb, mint 360, és bármelyik kettő összege nagyobb, mint a harmadik. Adott: Оabc – háromszögszög; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . A háromszög fő tulajdonsága. Bizonyítsuk be: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
3. dia
Bizonyítás I. Legyen< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
4. dia
Három koszinusz képlet. Következmények. 1) Az egyenes és a sík közötti szög kiszámításához a következő képlet használható: 2) Az egyenes és a sík közötti szög az a legkisebb szög, amelyet ez az egyenes a sík egyeneseivel bezár.
5. dia
II. Ennek a szögnek az éleire helyezzük az A’, B’ és C’ pontokat úgy, hogy |OA’| = |OB'| = |OC'| Ekkor az A’OB’, B’OC’ és C’OA’ háromszögek egyenlő szárúak, és szögeik az 1-6 alapoknál hegyesek. Az A’, B’ és C’ csúcsú háromszögek esetében az I. bekezdésben bizonyított egyenlőtlenségeket alkalmazzuk: C’A’B’< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
6. dia
III. Tekintsük a c sugarat – komplementer c sugárral és az Оabc’ háromszögre a II. bekezdésben bizonyított egyenlőtlenséget használjuk tetszőleges háromszögre: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. A másik két egyenlőtlenség is hasonlóképpen bizonyított. Adott: Оabc – háromszögszög; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Bizonyítsuk be: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + > . Val vel'
7. dia
Következmény. Egy szabályos háromszög alakú piramisban a síkszög a csúcsnál kisebb, mint 120.
8. dia
Meghatározás. A háromszögeket egyenlőnek mondjuk, ha minden hozzájuk tartozó sík- és kétszögszög egyenlő. A háromszögek egyenlőségének jelei. A háromszögek egyenlőek, ha két síkszöggel és közöttük egy kétszöggel egyenlőek; 2) két kétszögű szög és egy lapos szög közöttük; 3) három lapos szög; 4) három kétszögű. Rizs. 4b
9. dia
. . Adott egy háromszög Oabc. Hadd< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
10. dia
II. Legyen > 90 ; > 90, akkor tekintsük a c-vel komplementer c’ sugarat és a megfelelő Oabc’ háromszöget, amelyben a síkszögek – és – hegyesek, a síkszög és a kétszög azonos. I. szerint: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com
Diafeliratok:
Diéderszögek A munkát befejezte: L. A. Serebrjanszkaja matematikatanár.
A kétszög a tér két olyan félsík közé zárt része, amelyeknek egy közös határa van.
A kétszöget alkotó α és β félsíkokat lapjainak nevezzük
Válasszunk ki egy tetszőleges C pontot a diéderszög A D élén, és húzzunk rajta egy α síkot az AP élre merőlegesen. Az α sík metszi a diéderszög lapjait az a és b sugarak mentén, amelyek egy bizonyos szöget alkotnak φ nagyságrendű. Ezt a szöget lineáris diéderszögnek nevezzük
Ha két sík metszi egymást, négy kétszög képződik. E kétszögek közül a kisebbik nagyságát e síkok közötti szögnek nevezzük.
Ha a síkok párhuzamosak, akkor a köztük lévő szög definíció szerint 0°. Ha φ a két sík közötti szög, akkor 0°
Feladat Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kockában keressük meg a BC 1 D és BA 1 D síkok közötti szöget! A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
Adott feladat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kocka Keresse meg: BC 1 D és BA 1 D síkok közötti szöget Megoldás: A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O ∆ BDA 1 és ∆ DC 1 B – egyenlő egyenlő szárú AO és C 1 O merőlegesek DB =» A 1 O C 1-re, a kívánt C 1 O egy 1-gyel egyenlő oldalú négyzet átlója.
http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t=320
A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek
A sztereometria egyik fő témája a „Diéderszögek” témakör. Annak ellenére, hogy a diákok könnyen megtanulják a diéderszög fogalmát és annak lineáris szögét, számos nehézség adódik a megoldás során...
A kétszög egy egyenes által alkotott alakzat. a és két közös határvonalú félsík a , nem tartozik ugyanahhoz a síkhoz.
Egyenes a – kétéderes él
a
A mindennapi életben gyakran találkozunk olyan tárgyakkal, amelyek kétszög alakúak. Ilyen tárgyak az épületek nyeregtetői, egy félig nyitott könyv, egy szoba fala a padlóval együtt stb.
Két félsík - kétszögű lapok
Algoritmus lineáris szög kialakítására.
ROK szög – a P DE K diéderszög lineáris szöge.
A diéderszög fokmértéke a lineáris szögének fokmértéke.
Háromszögek és poliéderek
Mutassa be a háromszög és a poliéder szögek meghatározását;
Ismerje meg a különböző típusú poliéderszögeket;
Tanulmányozza a poliéderszögek tulajdonságait, és tanulja meg alkalmazni azokat a feladatok megoldásában.
SZÖVEGSZÖGEK
Síkszögek véges halmaza által alkotott felület A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 közös felsővel S, amelyben a szomszédos szögeknek nincs közös pontja, kivéve egy közös sugár pontjait, és a nem szomszédos sarkoknak nincs közös pontja, kivéve a közös csúcsot, poliéderfelületnek nevezzük.
A megadott felület és az általa határolt két térrész egyike alkotta alakzatot poliéderszögnek nevezzük. Közös felső S poliéderszög csúcsának nevezzük. Sugarak S.A. 1 , …, S.A. n poliéderszög éleinek és magukat a síkszögeket nevezzük A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 – poliéderszög lapjai. A poliéderes szöget a betűk jelölik S.A. 1 … A n, jelzi a csúcsot és az élein lévő pontokat.
SZÖVEGSZÖGEK
A lapok számától függően a poliéderszögek háromszögek, tetraéderek, ötszögek stb.
HÁROMSZÖGEK
Tétel. Egy háromszög minden síkszöge kisebb, mint két másik síkszögének összege.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
HÁROMSZÖGEK
Az ingatlannal. Egy háromszög síkszögeinek összege kisebb, mint 360.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
KONVEX SZÖSEGSZÖGEK
Egy poliéderszöget konvexnek nevezünk, ha konvex alakzat, azaz bármelyik két pontjával együtt teljes egészében tartalmazza az őket összekötő szakaszt. Az ábra példákat mutat be konvex és nem konvex poliéderszögekre.
Ingatlan. Egy konvex poliéderszög összes síkszögének összege kisebb, mint 360°.
Függőleges poliéder szögek
Az ábrákon háromszög, tetraéder és ötszögű függőleges szögek láthatók
Tétel. A függőleges szögek egyenlőek.
Poliéderszögek mérése
Mivel egy kidolgozott diéderszög fokértékét a megfelelő lineáris szög fokértéke méri, és egyenlő 180 °-kal, feltételezzük, hogy a teljes tér fokértéke, amely két kidolgozott kétszögből áll, egyenlő 360 °. A poliéderszög fokban kifejezett mérete megmutatja, hogy egy adott poliéder szög mekkora helyet foglal el. Például egy kocka háromszögű szöge a tér egynyolcadát foglalja el, ezért fokértéke 360 o: 8 = 45 o. A háromszög szög megfelelő n-a gonális prizma egyenlő az oldalsó él diéderszögének felével. Ha figyelembe vesszük, hogy ez a kétszög egyenlő, akkor azt kapjuk, hogy a prizma háromszöge egyenlő.
1. Feladat
Létezhet-e laposszögű háromszögszög: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Nincs válasz;
2. gyakorlat
Mondjon példákat poliéderekre, amelyek csúcsaiban metsző lapjai csak: a) háromszögeket alkotnak; b) tetraéderszögek; c) ötszögű szögek.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: a) Tetraéder, kocka, dodekaéder;
b) oktaéder;
c) ikozaéder.
3. gyakorlat
A háromszög két síkszöge 70° és 80°. Melyek a harmadik síkszög határai?
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: 10 o 
1. Az ábrán egy poliéder látható, a poliéder minden kétszöge derékszög. Határozza meg az A és C2 csúcsok távolságát
Tekintsünk egy derékszögű háromszöget a Pitagorasz-tétel szerint
3. Határozza meg az ábrán látható poliéder CAD2 szögét! A poliéder minden kétszöge derékszög. Válaszát fokokban adja meg.
Tekintsük a CAD2 háromszöget, ahol AC = CD2 = AD2, mivel ezek egyenlő négyzetek átlói, ezért a CAD2 háromszög egyenlő oldalú, tehát minden szöge 60°.
4. Határozza meg az ábrán látható poliéder ABD szögét! A poliéder minden kétszöge derékszög. Válaszát fokokban adja meg.
Figyeljük meg, hogy az ABCD egy négyzet, amelynek oldala 2, és BD az átlója, ami azt jelenti, hogy az ABD háromszög derékszögű és egyenlő szárú, AB=AD. Az ABD szög 45°.
5. Az ábrán egy poliéder látható, a poliéder minden kétszöge derékszög. Határozzuk meg a B2 és D3 csúcsok közötti távolság négyzetét!
6. Az ábrán egy poliéder látható, a poliéder minden kétszöge derékszög. Határozzuk meg az A és C3 csúcsok közötti távolság négyzetét!
7. Keresse meg az ábrán látható poliéder EAD2 szögét! A poliéder minden kétszöge derékszög. Válaszát fokokban adja meg.
5. gyakorlat
Háromszögű szögben két síkszög egyenlő 45°-kal; a köztük lévő diéderszög megfelelő. Keresse meg a harmadik síkszöget.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: 6 0 o.
6. gyakorlat
A háromszög síkszögei 60°, 60° és 90°. Az éleire egyenlő szegmenseket rakunk ki a csúcsból O.A. , O.B. , O.C. . Keresse meg a kétszöget a 90°-os szög síkja és a sík között! ABC .
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: 9 0 o.
7. gyakorlat
A háromszög minden síkszöge 60°. Az egyik szélére felülről 3 cm-es szegmenst húzunk le, és a végéből merőlegest ejtünk a szemközti oldalra. Keresse meg ennek a merőlegesnek a hosszát.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: lásd
8. gyakorlat
Keresse meg egy háromszög belső pontjainak helyét a lapjaitól egyenlő távolságra.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: Olyan sugár, amelynek csúcsa egy háromszög csúcsa, amely a kétszögeket kettéosztó síkok metszésvonalán fekszik.
9. gyakorlat
Keresse meg egy háromszög belső pontjainak helyét az éleitől egyenlő távolságra.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: Olyan sugár, amelynek csúcsa egy háromszög szög csúcsa, amely a síkszögek felezőjén átmenő és e szögek síkjaira merőleges síkok metszésvonalán fekszik.
10. gyakorlat
Keresse meg a tetraéder háromszögeinek hozzávetőleges értékét!
A tetraéder diéderszögeihez a következőt kapjuk:
Honnan jön a 70 és a 30?
A tetraéder háromszögeihez a következőt kapjuk:
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: 15 kb 45".
11. gyakorlat
Keresse meg az oktaéder tetraéderszögeinek hozzávetőleges értékét!
Az oktaéder diéderszögeihez a következőt kapjuk:
Honnan jön a 109 o 30?
Az oktaéder tetraéderes szögeihez a következőket kapjuk:
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: 38 kb 56".
12. gyakorlat
Keresse meg az ikozaéder ötszögeinek közelítő értékét!
Az ikozaéder diéderszögeihez a következőt kapjuk:
Hol van a 138 kb 11".
Az ikozaéder pentaéderes szögeihez a következőket kapjuk:
Válasz: 75 kb 28".
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
13. gyakorlat
Keresse meg a dodekaéder háromszögének hozzávetőleges értékét.
A dodekaéder diéderszögeihez a következőket kapjuk:
Hol van a 116 körülbelül 3 4"
A dodekaéder háromszögeihez a következőt kapjuk:
Válasz: 84 kb 51 ".
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
14. gyakorlat
Szabályos négyszög alakú piramisban SABCD az alap oldala 2 cm, magassága 1 cm Keresse meg ennek a piramisnak a négyszögét!
Megoldás: A jelzett piramisok a kockát hat egyenlő gúlára osztják úgy, hogy a csúcsok a kocka közepén helyezkednek el. Következésképpen a piramis tetején a 4 oldalú szög a 360 fokos szög egyhatoda, azaz. egyenlő 60 o-val.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: 60 o.
15. gyakorlat
Egy szabályos háromszög alakú piramisban az oldalsó élek egyenlőek 1-gyel, a csúcson lévő szögek 90 fokosak. Határozza meg a háromszög szögét ennek a piramisnak a csúcsánál!
Megoldás: A feltüntetett piramisok az oktaédert nyolc egyenlő piramisra osztják, csúcsai a középpontban. O oktaéder. Következésképpen a piramis tetején a 3 oldalú szög a 360 fokos szög nyolcad része, azaz. egyenlő 45 o-val.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
Válasz: 45 o.
16. gyakorlat
Egy szabályos háromszög alakú gúlában az oldalsó élek egyenlőek 1-gyel, és a magasság Határozza meg a háromszög szögét a gúla csúcsánál.
Megoldás: A feltüntetett piramisok egy szabályos tetraédert négy egyenlő piramisra hasítottak, csúcsokkal a közepén O tetraéder. Következésképpen a piramis tetején lévő 3 oldalú szög a 360 fokos szög egynegyede, azaz. egyenlő 90 o-val.
Dia módban a válasz az egér kattintása után jelenik meg.
