Dreieckige Winkel. Präsentation „Polyederwinkel“ Vertikale Polyederwinkel
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KONVEX POLYHEDALER WINKEL Ein polyedrischer Winkel heißt konvex, wenn er eine konvexe Figur ist, das heißt, er enthält zusammen mit zwei beliebigen seiner Punkte das sie verbindende Segment vollständig. Die Abbildung zeigt Beispiele für konvexe und nicht konvexe Polyederwinkel. Satz. Die Summe aller Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels beträgt weniger als 360°.
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KONVEX POLYHEDE Ein Polyederwinkel heißt konvex, wenn er eine konvexe Figur ist, d. h. zusammen mit zwei beliebigen seiner Punkte das sie verbindende Segment vollständig enthält. Die Abbildung zeigt Beispiele einer konvexen und nicht konvexen Pyramide. Würfel, Parallelepiped, Dreiecksprisma und Pyramide sind konvexe Polyeder.
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EIGENSCHAFT 1 Eigenschaft 1. In einem konvexen Polyeder sind alle Flächen konvexe Polyeder. Tatsächlich sei F eine Fläche des Polyeders M, und die Punkte A und B gehören zur Fläche F. Aus der Konvexitätsbedingung des Polyeders M folgt, dass das Segment AB vollständig im Polyeder M enthalten ist Liegt das Segment in der Ebene des Polygons F, ist es vollständig in diesem Polygon enthalten, d. h. F ist ein konvexes Polygon.
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EIGENSCHAFT 2 Es sei tatsächlich M ein konvexes Polyeder. Nehmen wir einen inneren Punkt S des Polyeders M, d. h. einen Punkt, der zu keiner Fläche des Polyeders M gehört. Verbinden wir den Punkt S durch Segmente mit den Eckpunkten des Polyeders M. Beachten Sie, dass aufgrund der Konvexität des Polyeders M alle diese Segmente in M enthalten sind. Betrachten Sie Pyramiden mit einer Spitze S, deren Basen die Flächen des Polyeders M sind. Diese Pyramiden sind vollständig in M enthalten und bilden zusammen das Polyeder M. Eigenschaft 2. Jedes konvexe Polyeder kann aus Pyramiden mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt bestehen, deren Basen die Oberfläche eines Polyeders bilden.
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Aufgabe 1 Geben Sie in der Abbildung konvexe und nichtkonvexe ebene Figuren an. Antwort: a), d) – konvex; b), c) – nicht konvex.
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Aufgabe 2 Ist der Schnittpunkt konvexer Figuren immer eine konvexe Figur? Antwort: Ja.
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Aufgabe 3 Ist die Vereinigung konvexer Figuren immer eine konvexe Figur? Antwort: Nein.
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Aufgabe 4 Ist es möglich, einen konvexen Tetraederwinkel mit den folgenden flachen Winkeln zu bilden: a) 56o, 98o, 139o und 72o; b) 32o, 49o, 78o und 162o; c) 85o, 112o, 34o und 129o; d) 43o, 84o, 125o und 101o. Keine Antwort; b) ja; c) nein; d) ja.
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Aufgabe 5 Geben Sie in der Abbildung konvexe und nichtkonvexe Polyeder an. Antwort: b), d) – konvex; a), c), d) – nicht konvex.
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Aufgabe 6 Kann ein nichtkonvexes Polygon eine Fläche eines konvexen Polyeders sein? Antwort: Nein.
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Satz. Bei einem Dreieckswinkel ist die Summe der ebenen Winkel kleiner als 360 und die Summe zweier davon ist größer als der dritte. Gegeben: Оabc – Dreieckswinkel; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Die Haupteigenschaft eines Dreieckswinkels. Beweisen Sie: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
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Beweis I. Lass< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
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Drei-Kosinus-Formel. Folgen. 1) Um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu berechnen, gilt die Formel: 2) Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der kleinste der Winkel, den diese Gerade mit den Geraden dieser Ebene bildet.
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II. Auf den Kanten dieses Winkels platzieren wir die Punkte A’, B’ und C’, sodass |OA’| = |OB'| = |OC'| Dann sind die Dreiecke A’OB’, B’OC’ und C’OA’ gleichschenklig und ihre Winkel an den Basen 1 – 6 sind spitz. Für Dreieckswinkel mit den Eckpunkten A’, B’ und C’ wenden wir die in Absatz I nachgewiesenen Ungleichungen an: C’A’B’< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
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III. Betrachten wir den Strahl c’ – komplementär zum Strahl c und verwenden wir für den Dreieckswinkel Оabc’ die in Absatz II nachgewiesene Ungleichung für einen beliebigen Dreieckswinkel: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Die anderen beiden Ungleichungen werden auf ähnliche Weise bewiesen. Gegeben: Оabc – Dreieckswinkel; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Beweisen Sie: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + > . Mit'
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Folge. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Ebenenwinkel an der Spitze weniger als 120.
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Definition. Dreiflächige Winkel werden als gleich bezeichnet, wenn alle zugehörigen Ebenen- und Diederwinkel gleich sind. Zeichen der Gleichheit der Dreieckswinkel. Dreiflächige Winkel sind gleich, wenn sie jeweils gleich sind: zwei ebene Winkel und einen Diederwinkel zwischen ihnen; 2) zwei Diederwinkel und ein flacher Winkel dazwischen; 3) drei flache Winkel; 4) drei Diederwinkel. Reis. 4b
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. . Gegeben sei ein Dreieckswinkel Oabc. Lassen< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
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II. Sei > 90 ; > 90, dann betrachte den zu c komplementären Strahl c’ und den entsprechenden Dreieckswinkel Oabc’, in dem die Ebenenwinkel – und – spitz sind und der Ebenenwinkel und der Diederwinkel gleich sind. Nach I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
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Folienunterschriften:
Diederwinkel Die Arbeit wurde abgeschlossen von: Mathematiklehrer L. A. Serebryanskaya.
Ein Diederwinkel ist ein Teil des Raums, der zwischen zwei Halbebenen eingeschlossen ist, die eine gemeinsame Grenze haben.
Halbebenen α und β, die einen Diederwinkel bilden, werden als Flächen bezeichnet
Wählen wir einen beliebigen Punkt C auf der Kante A D des Diederwinkels aus und zeichnen wir durch ihn eine Ebene α senkrecht zur Kante AP. Die Ebene α schneidet die Flächen des Diederwinkels entlang der Strahlen a und b, die einen bestimmten Winkel bilden Größe φ. Dieser Winkel wird linearer Diederwinkel genannt
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, entstehen vier Diederwinkel. Die Größe des kleineren dieser Diederwinkel wird als Winkel zwischen diesen Ebenen bezeichnet.
Wenn die Ebenen parallel sind, beträgt der Winkel zwischen ihnen per Definition 0°. Wenn φ der Winkel zwischen zwei Ebenen ist, dann 0°
Aufgabe Finden Sie im Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 den Winkel zwischen den Ebenen BC 1 D und BA 1 D. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
Gegebenes Problem: Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Gesucht: Winkel zwischen den Ebenen BC 1 D und BA 1 D Lösung: A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O ∆ BDA 1 und ∆ DC 1 B – gleiche gleichschenklige AO und C 1 O sind senkrecht zu DB =» A 1 O C 1 das gewünschte C 1 O ist die Diagonale eines Quadrats mit einer Seite gleich 1.
http://old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t=320
Zum Thema: methodische Entwicklungen, Präsentationen und Notizen
Eines der Hauptthemen der Stereometrie ist das Thema „Diederwinkel“. Trotz der Tatsache, dass die Schüler die Konzepte eines Diederwinkels und seines linearen Winkels leicht erlernen, treten bei der Lösung viele Schwierigkeiten auf...
Ein Diederwinkel ist eine Figur, die durch eine gerade Linie gebildet wird. A und zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenze A , nicht zur selben Ebene gehörend.
Gerade A – Diederkante
A
Im Alltag begegnen uns häufig Gegenstände, die die Form eines Diederwinkels haben. Solche Objekte sind Satteldächer von Gebäuden, ein halb aufgeschlagenes Buch, eine Raumwand samt Boden usw.
Zwei Halbebenen – Flächen eines Diederwinkels
Algorithmus zur Konstruktion eines linearen Winkels.
Winkel ROK – linearer Winkel des Diederwinkels P DE K.
Das Gradmaß eines Diederwinkels ist das Gradmaß seines linearen Winkels.
Dreiflächige und polyedrische Winkel
Führen Sie die Definition von Trieder- und Polyederwinkeln ein;
Lernen Sie die verschiedenen Arten von Polyederwinkeln kennen;
Studieren Sie die Eigenschaften polyedrischer Winkel und lernen Sie, wie Sie sie zur Lösung von Problemen anwenden können.
POLYHEDALE WINKEL
Eine Oberfläche, die durch eine endliche Menge ebener Winkel gebildet wird A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A N -1 S.A. N , A N S.A. 1 mit gemeinsamem Oberteil S, in dem benachbarte Winkel keine gemeinsamen Punkte haben, außer Punkten eines gemeinsamen Strahls, und nicht benachbarte Ecken keine gemeinsamen Punkte haben, außer einem gemeinsamen Scheitelpunkt, wird als polyedrische Oberfläche bezeichnet.
Die Figur, die durch die bestimmte Oberfläche und einen der beiden durch sie begrenzten Raumteile gebildet wird, wird als Polyederwinkel bezeichnet. Gemeinsames Oberteil S wird als Scheitelpunkt eines Polyederwinkels bezeichnet. Strahlen S.A. 1 , …, S.A. N werden die Kanten eines Polyederwinkels und die ebenen Winkel selbst genannt A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A N -1 S.A. N , A N S.A. 1 – Flächen eines polyedrischen Winkels. Ein Polyederwinkel wird durch die Buchstaben angezeigt S.A. 1 … A N, gibt den Scheitelpunkt und die Punkte an seinen Kanten an.
POLYHEDALE WINKEL
Abhängig von der Anzahl der Flächen sind die Polyederwinkel triederförmig, tetraedrisch, fünfeckig usw.
TRIHEDALEN WINKEL
Satz. Jeder Flächenwinkel eines Dreiflächenwinkels ist kleiner als die Summe seiner beiden anderen Flächenwinkel.
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
TRIHEDALEN WINKEL
Mit der Immobilie. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels beträgt weniger als 360°.
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
KONVEX POLYHEDALE WINKEL
Ein Polyederwinkel heißt konvex, wenn er eine konvexe Figur ist, d. h. zusammen mit zwei beliebigen seiner Punkte das sie verbindende Segment vollständig enthält. Die Abbildung zeigt Beispiele für konvexe und nicht konvexe Polyederwinkel.
Eigentum. Die Summe aller Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels beträgt weniger als 360°.
Vertikale Polyederwinkel
Die Abbildungen zeigen Beispiele für dreieckige, tetraedrische und fünfeckige Vertikalwinkel
Satz. Vertikale Winkel sind gleich.
Polyederwinkel messen
Da der Gradwert eines entwickelten Diederwinkels durch den Gradwert des entsprechenden linearen Winkels gemessen wird und gleich 180° ist, gehen wir davon aus, dass der Gradwert des gesamten Raums, der aus zwei entwickelten Diederwinkeln besteht, gleich ist 360°. Die Größe eines Polyederwinkels, ausgedrückt in Grad, gibt an, wie viel Platz ein bestimmter Polyederwinkel einnimmt. Beispielsweise nimmt ein Dreieckswinkel eines Würfels ein Achtel des Raums ein und daher beträgt sein Gradwert 360 °: 8 = 45 °. Dreieckiger Winkel im rechten Winkel N-gonales Prisma ist gleich dem halben Diederwinkel an der Seitenkante. Wenn wir davon ausgehen, dass dieser Diederwinkel gleich ist, erhalten wir, dass der Dreiflächenwinkel des Prismas gleich ist.
Übung 1
Kann es einen Dreieckswinkel mit flachen Winkeln geben: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?
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Keine Antwort;
Übung 2
Nennen Sie Beispiele für Polyeder, deren Flächen, die sich an den Eckpunkten schneiden, nur Folgendes bilden: a) Dreieckswinkel; b) Tetraederwinkel; c) fünfeckige Winkel.
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Antwort: a) Tetraeder, Würfel, Dodekaeder;
b) Oktaeder;
c) Ikosaeder.
Übung 3
Die beiden Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels betragen 70° und 80°. Was sind die Grenzen des dritten Ebenenwinkels?
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Antwort: 10 o 
1. Die Abbildung zeigt ein Polyeder; alle Diederwinkel des Polyeders sind rechte Winkel. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Eckpunkten A und C2
Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck gemäß dem Satz des Pythagoras
3. Ermitteln Sie den Winkel CAD2 des in der Abbildung gezeigten Polyeders. Alle Diederwinkel eines Polyeders sind rechte Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Betrachten Sie das Dreieck CAD2 mit AC = CD2 = AD2, da es sich um Diagonalen gleicher Quadrate handelt. Daher ist das Dreieck CAD2 gleichseitig, sodass alle seine Winkel gleich 60° sind.
4. Ermitteln Sie den Winkel ABD des in der Abbildung gezeigten Polyeders. Alle Diederwinkel eines Polyeders sind rechte Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Beachten Sie, dass ABCD ein Quadrat mit der Seite 2 und BD seine Diagonale ist. Das bedeutet, dass das Dreieck ABD rechtwinklig und gleichschenklig ist, AB=AD. Der Winkel ABD beträgt 45°.
5. Die Abbildung zeigt ein Polyeder; alle Diederwinkel des Polyeders sind rechte Winkel. Ermitteln Sie das Quadrat des Abstands zwischen den Eckpunkten B2 und D3.
6. Die Abbildung zeigt ein Polyeder; alle Diederwinkel des Polyeders sind rechte Winkel. Ermitteln Sie das Quadrat des Abstands zwischen den Eckpunkten A und C3.
7. Finden Sie den Winkel EAD2 des in der Abbildung gezeigten Polyeders. Alle Diederwinkel eines Polyeders sind rechte Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Übung 5
In einem Dreieckswinkel sind zwei ebene Winkel gleich 45°; der Diederwinkel zwischen ihnen ist richtig. Finden Sie den Winkel der dritten Ebene.
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Antwort: 6 0 o.
Übung 6
Die Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels betragen 60°, 60° und 90°. An seinen Kanten sind vom Scheitelpunkt aus gleiche Segmente angeordnet O.A. , O.B. , O.C. . Finden Sie den Diederwinkel zwischen der Ebene des 90°-Winkels und der Ebene ABC .
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Antwort: 9 0 Uhr.
Übung 7
Jeder Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels beträgt 60°. An einer seiner Kanten wird von oben ein 3 cm langes Segment abgelegt und von seinem Ende aus eine Senkrechte zur gegenüberliegenden Fläche herabgelassen. Finden Sie die Länge dieser Senkrechten.
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Antwort: siehe
Übung 8
Finden Sie den Ort der inneren Punkte eines Dreieckswinkels mit gleichem Abstand zu seinen Flächen.
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
Antwort: Ein Strahl, dessen Scheitelpunkt der Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels ist und auf der Schnittlinie der Ebenen liegt, die die Diederwinkel in zwei Hälften teilen.
Übung 9
Finden Sie den Ort der inneren Punkte eines Dreieckswinkels mit gleichem Abstand zu seinen Kanten.
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
Antwort: Ein Strahl, dessen Scheitelpunkt der Scheitelpunkt eines dreiflächigen Winkels ist, der auf der Schnittlinie von Ebenen liegt, die durch die Winkelhalbierenden der ebenen Winkel verlaufen und senkrecht zu den Ebenen dieser Winkel stehen.
Übung 10
Finden Sie ungefähre Werte der Dreieckswinkel des Tetraeders.
Für die Diederwinkel eines Tetraeders gilt:
Woher kommen 70 etwa 30?
Für die Dreieckswinkel eines Tetraeders gilt:
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
Antwort: 15 etwa 45".
Übung 11
Finden Sie ungefähre Werte der Tetraederwinkel des Oktaeders.
Für die Diederwinkel des Oktaeders gilt:
Woher kommt 109 o 30?
Für die Tetraederwinkel des Oktaeders gilt:
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
Antwort: 38 etwa 56".
Übung 12
Finden Sie ungefähre Werte der Pentaederwinkel des Ikosaeders.
Für die Diederwinkel des Ikosaeders gilt:
Wobei 138 etwa 11 Zoll beträgt.
Für die Pentaederwinkel des Ikosaeders gilt:
Antwort: 75 etwa 28".
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
Übung 13
Finden Sie ungefähre Werte der Dreieckswinkel des Dodekaeders.
Für die Diederwinkel des Dodekaeders gilt:
Wobei 116 etwa 3 4 Zoll beträgt.
Für die Dreieckswinkel des Dodekaeders gilt:
Antwort: 84 über 51".
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
Übung 14
In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Die Seitenlänge der Basis beträgt 2 cm, die Höhe beträgt 1 cm. Finden Sie den vierseitigen Winkel an der Spitze dieser Pyramide.
Lösung: Die angegebenen Pyramiden teilen den Würfel in sechs gleiche Pyramiden mit den Eckpunkten in der Mitte des Würfels. Folglich beträgt der 4-Seiten-Winkel an der Spitze der Pyramide ein Sechstel des Winkels von 360 Grad, d.h. gleich 60 o.
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
Antwort: 60 o.
Übung 15
Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide sind die Seitenkanten gleich 1, die Winkel an der Spitze betragen 90 Grad. Finden Sie den Dreieckswinkel an der Spitze dieser Pyramide.
Lösung: Die angegebenen Pyramiden teilen das Oktaeder in acht gleiche Pyramiden mit den Spitzen in der Mitte Ö Oktaeder. Folglich beträgt der dreiseitige Winkel an der Spitze der Pyramide ein Achtel eines Winkels von 360 Grad, d. h. gleich 45 o.
Im Folienmodus erscheint die Antwort nach einem Mausklick.
Antwort: 45 o.
Übung 16
In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide sind die Seitenkanten gleich 1 und die Höhe. Bestimmen Sie den Dreieckswinkel an der Spitze dieser Pyramide.
Lösung: Die angegebenen Pyramiden teilen ein regelmäßiges Tetraeder in vier gleiche Pyramiden mit Eckpunkten in der Mitte Ö Tetraeder. Folglich beträgt der dreiseitige Winkel an der Spitze der Pyramide ein Viertel eines Winkels von 360 Grad, d. h. gleich 90 o.
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