Kolmion muotoiset kulmat. Esitys "polyhedral angle" Pystysuorat monitahoiset kulmat
1 dia
KUPERAT MONITARKOKULMAT Monitahoista kulmaa kutsutaan kuperaksi, jos se on kupera, eli se sisältää yhdessä minkä tahansa kahden pisteensä kanssa kokonaan niitä yhdistävän janan. Kuvassa on esimerkkejä kuperista ja ei-kuperista monitahoisista kulmista. Lause. Kuperan monitahoisen kulman kaikkien tasokulmien summa on pienempi kuin 360°.
2 liukumäki
KUPERAT POLYEDIT Monitahoista kulmaa kutsutaan kuperaksi, jos se on kupera, eli se sisältää yhdessä minkä tahansa kahden pisteensä kanssa kokonaan niitä yhdistävän janan. Kuvassa on esimerkkejä kuperasta ja ei-kuperasta pyramidista. Kuutio, suuntaissärmiö, kolmioprisma ja pyramidi ovat kuperia monitahoisia.
3 liukumäki
OMINAISUUDET 1 Ominaisuus 1. Kuperan monitahoisen kaikki pinnat ovat kuperia polygoneja. Todellakin, olkoon F jokin monitahoisen M pinta ja pisteet A ja B kuuluvat pintaan F. Monitahoisen M kuperuuden ehdosta seuraa, että jana AB sisältyy kokonaan monitahoiseen M. Koska tämä segmentti on monikulmion F tasossa, se sisältyy kokonaan tähän monikulmioon, eli F on kupera monikulmio.
4 liukumäki
OMINAISUUDET 2 Olkoon M todellakin kupera monitahoinen. Otetaan jokin monitahoisen M sisäinen piste S, eli piste, joka ei kuulu monitahoisen M yhteenkään pintaan. Yhdistämme piste S monitahoisen M kärkiin janoilla. Huomaa, että monitahoisen M kuperuudesta johtuen kaikki nämä segmentit sisältyvät M:ään. Tarkastellaan pyramideja, joiden kärkipiste on S ja joiden kantat ovat monitahoisen M pinnat. Nämä pyramidit ovat kokonaan M:n sisällä ja yhdessä ne muodostavat monitaho M. Ominaisuus 2. Mikä tahansa kupera polyhedri voi koostua pyramideista, joilla on yhteinen kärki, joiden kantat muodostavat monitahoisen pinnan.
5 liukumäki
Harjoitus 1 Merkitse kuvioon kupera ja ei-kupera tasokuva. Vastaus: a), d) – kupera; b), c) – ei-kupera.
6 liukumäki
Harjoitus 2 Onko kuperien kuvioiden leikkauspiste aina kupera? Vastaus: Kyllä.
7 liukumäki
Harjoitus 3 Onko kuperien kuvioiden liitto aina kupera kuvio? Vastaus: Ei.
8 liukumäki
Harjoitus 4 Onko mahdollista muodostaa kupera tetraedrikulma seuraavilla litteillä kulmilla: a) 56o, 98o, 139o ja 72o; b) 32o, 49o, 78o ja 162o; c) 85o, 112o, 34o ja 129o; d) 43o, 84o, 125o ja 101o. Ei vastausta; b) kyllä; c) ei; d) kyllä.
Dia 9
Harjoitus 5 Merkitse kuvassa kupera ja ei-kupera polyhedra. Vastaus: b), d) – kupera; a), c), d) – ei-kupera.
10 diaa
Harjoitus 6 Voiko ei-kupera monikulmio olla kuperan monitahoisen pinta? Vastaus: Ei.
Dia 1
Dia 2
Lause. Kolmikulmaisessa kulmassa tasokulmien summa on pienempi kuin 360 ja minkä tahansa kahden niistä summa on suurempi kuin kolmas. Annettu: Оabc – kolmikulmainen kulma; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Kolmikulmaisen kulman pääominaisuus. Todista: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Dia 3
Todiste I. Anna< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Dia 4
Kolmen kosinin kaava. Seuraukset. 1) Suoran ja tason välisen kulman laskemiseen käytetään kaavaa: 2) Suoran ja tason välinen kulma on pienin kulmista, jotka tämä suora muodostaa tämän tason suorien kanssa.
Dia 5
II. Tämän kulman reunoihin asetetaan pisteet A’, B’ ja C’ siten, että |OA’| = |OB'| = |OC'| Tällöin kolmiot A’OB’, B’OC’ ja C’OA’ ovat tasakylkisiä, ja niiden kulmat kannassa 1-6 ovat teräviä. Kolmikulmaisille kulmille, joiden kärjet ovat A’, B’ ja C’, sovelletaan kappaleessa I todistettuja epäyhtälöitä: C’A’B’< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Dia 6
III. Tarkastellaan sädettä c’ – komplementtia säteen c:lle ja kolmikulmaiselle Оabc’:lle käytetään kappaleessa II todistettua epäyhtälöä mielivaltaiselle kolmikulmaiselle: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Kaksi muuta epätasa-arvoa todistetaan samalla tavalla. Annettu: Оabc – kolmikulmainen kulma; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Todista: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + >. Kanssa'
Dia 7
Seuraus. Tavallisessa kolmiomaisessa pyramidissa tasokulma kärjessä on pienempi kuin 120.
Dia 8
Määritelmä. Kolmikulmaisten kulmien sanotaan olevan yhtä suuria, jos kaikki niitä vastaavat taso- ja kaksitahokulmat ovat yhtä suuret. Kolmikulmaisten kulmien yhtäläisyyden merkit. Kolmikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret, jos niillä on vastaavasti yhtä suuria: kaksi tasokulmaa ja niiden välinen kaksikulmainen kulma; 2) kaksi dihedral-kulmaa ja tasainen kulma niiden välillä; 3) kolme litteää kulmaa; 4) kolme kaksikulmaista kulmaa. Riisi. 4b
Dia 9
. . Annettu kolmikulmainen kulma Oabc. Antaa< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
Dia 10
II. Olkoon > 90; > 90, ota sitten huomioon c:n komplementaarinen säde c’ ja vastaava kolmikulmainen kulma Oabc’, jossa tasokulmat – ja – ovat teräviä ja tasokulma ja dihedraalikulma ovat samat. I:n mukaan: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
Jos haluat käyttää esityksen esikatselua, luo Google-tili ja kirjaudu sisään siihen: https://accounts.google.com
Dian kuvatekstit:
Dihedral kulmat Työn suoritti: matematiikan opettaja L. A. Serebryanskaya.
Dihedraalinen kulma on avaruuden osa, joka on suljettu kahden puolitason väliin, joilla on yksi yhteinen raja.
Puolitasoja α ja β, jotka muodostavat kaksitahoisen kulman, kutsutaan sen pinnoiksi
Valitaan kaksitahoisen kulman reunalta A D mielivaltainen piste C ja piirretään sen läpi taso α, joka on kohtisuorassa reunaan AP nähden. Taso α leikkaa dihedraalisen kulman pinnat säteitä a ja b pitkin, jotka muodostavat tietyn kulman magnitudi φ. Tätä kulmaa kutsutaan lineaariseksi dihedraaliseksi kulmaksi
Kun kaksi tasoa leikkaavat toisiaan, muodostuu neljä dihedraalista kulmaa. Näistä dihedraalisista kulmista pienemmän suuruutta kutsutaan näiden tasojen väliseksi kulmaksi.
Jos tasot ovat yhdensuuntaiset, niin niiden välinen kulma on määritelmän mukaan 0°. Jos φ on kahden tason välinen kulma, niin 0°
Tehtävä Etsi kuutiosta ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tasojen BC 1 D ja BA 1 D välinen kulma. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
Tehtävä annettu: kuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Hae: tasojen BC 1 D ja BA 1 D välinen kulma Ratkaisu: A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O ∆ BDA 1 ja ∆ DC 1 B – tasakylkiset AO ja C 1 O ovat kohtisuorassa suhteessa DB =» A 1 O C 1 haluttu C 1 O on neliön lävistäjä, jonka sivu on 1.
http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t = 320
Aiheesta: metodologinen kehitys, esitykset ja muistiinpanot
Yksi stereometrian pääaiheista on aihe "Dihedral kulmat". Huolimatta siitä, että opiskelijat oppivat helposti dihedraalisen kulman ja sen lineaarikulman käsitteet, monia vaikeuksia syntyy ratkaistaessa...
Dihedraalinen kulma on kuvio, jonka muodostaa suora viiva. a ja kaksi puolitasoa, joilla on yhteinen raja a , jotka eivät kuulu samaan tasoon.
Suoraan a – dihedraalinen reuna
a
Jokapäiväisessä elämässä kohtaamme usein esineitä, jotka ovat kaksitahoisen kulman muotoisia. Tällaisia esineitä ovat rakennusten harjakatot, puoliavoin kirja, huoneen seinä yhdessä lattian kanssa jne.
Kaksi puolitasoa - kaksitahoisen kulman pinnat
Algoritmi lineaarisen kulman muodostamiseksi.
Kulma ROK – dihedraalisen kulman P DE K lineaarinen kulma.
Dihedraalisen kulman astemitta on sen lineaarisen kulman astemitta.
Kolmi- ja monitahoiset kulmat
Esittele kolmiulotteisten ja monitahoisten kulmien määritelmä;
Tutustu erityyppisiin monitahoisiin kulmiin;
Opi monitahoisten kulmien ominaisuuksia ja oppia soveltamaan niitä tehtävien ratkaisussa.
MONITARKKISET KULMAT
Pinta, jonka muodostaa rajallinen tasokulmien joukko A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 yhteisellä yläosalla S, jossa vierekkäisillä kulmilla ei ole yhteisiä pisteitä, paitsi yhteisen säteen pisteitä, ja ei-naapurikulmilla ei ole yhteisiä pisteitä yhteistä kärkeä lukuun ottamatta, kutsutaan monitahoiseksi pinnaksi.
Määritetyn pinnan ja sen rajoittaman tilan kahdesta osasta muodostamaa kuviota kutsutaan monitahoiseksi kulmaksi. Yhteinen toppi S kutsutaan monitahoisen kulman huipuksi. Säteet S.A. 1 , …, S.A. n kutsutaan monitahoisen kulman reunoiksi ja itse tasokulmiksi A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 – monitahoisen kulman pinnat. Monitahoinen kulma on merkitty kirjaimilla S.A. 1 … A n, joka osoittaa kärjen ja pisteet sen reunoilla.
MONITARKKISET KULMAT
Pintojen lukumäärästä riippuen monitahoiset kulmat ovat kolmikulmaisia, tetraedrisiä, viisikulmaisia jne.
KOLMITUSKULMAT
Lause. Jokainen kolmikulmaisen kulman tasokulma on pienempi kuin sen kahden muun tasokulman summa.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
KOLMITUSKULMAT
Omaisuuden kanssa. Kolmikulmaisen kulman tasokulmien summa on pienempi kuin 360.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
KUPERAT MONITARISET KULMAT
Monitahoista kulmaa kutsutaan kuperaksi, jos se on kupera, eli se sisältää yhdessä minkä tahansa kahden pisteensä kanssa kokonaan niitä yhdistävän janan. Kuvassa on esimerkkejä kuperista ja ei-kuperista monitahoisista kulmista.
Omaisuus. Kuperan monitahoisen kulman kaikkien tasokulmien summa on pienempi kuin 360°.
Pystysuorat monitahoiset kulmat
Kuvissa on esimerkkejä kolmio-, tetraedri- ja viisikulmaisista pystykulmista
Lause. Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Monitahoisten kulmien mittaaminen
Koska kehittyneen dihedraalisen kulman astearvo mitataan vastaavan lineaarisen kulman astearvolla ja se on 180 °, oletetaan, että koko avaruuden, joka koostuu kahdesta kehittyneestä dihedraalisesta kulmasta, astearvo on yhtä suuri kuin 360 °. Monitahoisen kulman koko asteina ilmaistuna osoittaa, kuinka paljon tilaa tietty monitahoinen kulma vie. Esimerkiksi kuution kolmikulmainen kulma vie kahdeksasosan tilasta ja siksi sen astearvo on 360 o: 8 = 45 o. Kolmiokulma oikein n-gonaalinen prisma on yhtä suuri kuin puolet sivureunan dihedraalikulmasta. Ottaen huomioon, että tämä kaksitahoinen kulma on yhtä suuri, saadaan, että prisman kolmikulmainen kulma on yhtä suuri.
Harjoitus 1
Voiko olla kolmikulmainen kulma, jossa on tasaiset kulmat: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Ei vastausta;
Harjoitus 2
Anna esimerkkejä monitahoista, joiden kärjessä leikkaavat pinnat muodostavat vain: a) kolmikulmaiset kulmat; b) tetraedriset kulmat; c) viisikulmaiset kulmat.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: a) Tetraedri, kuutio, dodekaedri;
b) oktaedri;
c) ikosaedri.
Harjoitus 3
Kolmikulmaisen kulman kaksi tasokulmaa ovat 70° ja 80°. Mitkä ovat kolmannen tasokulman rajat?
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: 10 o 
1. Kuvassa on monitahoinen, kaikki monitahoisen dihedraaliset kulmat ovat suoria kulmia. Etsi pisteiden A ja C2 välinen etäisyys
Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota Pythagoraan lauseen mukaan
3. Etsi kuvassa näkyvän monitahoisen kulma CAD2. Kaikki monitahoisen kaksikulmaiset kulmat ovat suoria kulmia. Kerro vastauksesi asteina.
Tarkastellaan kolmiota CAD2, jossa AC = CD2 = AD2, koska ne ovat samankokoisten neliöiden lävistäjät, joten kolmio CAD2 on tasasivuinen, joten sen kaikki kulmat ovat 60°.
4. Etsi kuvassa näkyvän monitahoisen kulma ABD. Kaikki monitahoisen kaksikulmaiset kulmat ovat suoria kulmia. Kerro vastauksesi asteina.
Huomaa, että ABCD on neliö, jonka sivu on 2 ja BD on sen lävistäjä.Tämä tarkoittaa, että kolmio ABD on suorakulmainen ja tasakylkinen, AB=AD. Kulma ABD on 45°.
5. Kuvassa on monitahoinen, kaikki monitahoisen dihedraaliset kulmat ovat suoria kulmia. Etsi pisteiden B2 ja D3 välisen etäisyyden neliö.
6. Kuvassa on monitahoinen, kaikki monitahoisen dihedraaliset kulmat ovat suoria kulmia. Etsi pisteiden A ja C3 välisen etäisyyden neliö.
7. Etsi kuvassa näkyvän monitahoisen kulma EAD2. Kaikki monitahoisen kaksikulmaiset kulmat ovat suoria kulmia. Kerro vastauksesi asteina.
Harjoitus 5
Kolmikulmaisessa kulmassa kaksi tasokulmaa ovat 45°; niiden välinen dihedraalinen kulma on oikea. Etsi kolmas tasokulma.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: 60 o.
Harjoitus 6
Kolmikulmaisen kulman tasokulmat ovat 60°, 60° ja 90°. Sen reunoille on asetettu tasaiset segmentit kärjestä O.A. , O.B. , O.C. . Etsi dihedraalinen kulma 90° kulman tason ja tason välillä ABC .
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: 90 o.
Harjoitus 7
Kolmikulmaisen kulman jokainen tasokulma on 60°. Sen yhdelle reunalle irrotetaan 3 cm:n segmentti ylhäältä, ja sen päästä pudotetaan kohtisuora vastakkaiselle pinnalle. Etsi tämän kohtisuoran pituus.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: katso
Harjoitus 8
Etsi kolmikulmaisen kulman sisäpisteiden sijainti, joka on yhtä kaukana sen pinnasta.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: Säde, jonka kärki on kolmiulotteisen kulman kärki, joka sijaitsee dihedraaliset kulmat kahtia jakavien tasojen leikkauslinjalla.
Harjoitus 9
Etsi kolmiokulman sisäpisteiden sijainti, joka on yhtä kaukana sen reunoista.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: Säde, jonka kärki on kolmikulmaisen kulman kärki, joka on tasokulmien puolittajien läpi kulkevien ja kohtisuorassa näiden kulmien tasoihin nähden olevien tasojen leikkauslinjalla.
Harjoitus 10
Etsi tetraedrin kolmiulotteisten kulmien likimääräiset arvot.
Tetraedrin dihedraalisille kulmille meillä on:
Mistä 70 noin 30 tulee?
Tetraedrin kolmikulmaisille kulmille meillä on:
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: 15 noin 45".
Harjoitus 11
Etsi likimääräiset arvot oktaedrin tetraedrisille kulmille.
Oktaedrin dihedraalikulmille meillä on:
Mistä 109 tai 30 tulee?
Oktaedrin tetraedrisille kulmille meillä on:
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: 38 noin 56".
Harjoitus 12
Etsi ikosaedrin pentaedristen kulmien likimääräiset arvot.
Ikosaedrin dihedraalikulmille meillä on:
Missä on 138 noin 11".
Ikosaedrin pentaedrikulmille meillä on:
Vastaus: 75 noin 28".
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Harjoitus 13
Etsi dodekaedrin kolmikulmaisten kulmien likimääräiset arvot.
Dodekaedrin dihedraalikulmille meillä on:
Missä on 116 noin 3 4".
Dodekaedrin kolmikulmaisille kulmille meillä on:
Vastaus: 84 noin 51 ".
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Harjoitus 14
Tavallisessa nelikulmaisessa pyramidissa SABCD pohjan sivu on 2 cm, korkeus 1 cm. Etsi tämän pyramidin nelisivuinen kulma.
Ratkaisu: Esitetyt pyramidit jakavat kuution kuuteen yhtä suureen pyramidiin, joiden kärjet ovat kuution keskellä. Näin ollen 4-sivuinen kulma pyramidin huipulla on kuudesosa 360 asteen kulmasta, ts. yhtä suuri kuin 60 o.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: 60 o.
Harjoitus 15
Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivureunat ovat yhtä kuin 1, kulmat kärjessä ovat 90 astetta. Etsi kolmion kulma tämän pyramidin kärjestä.
Ratkaisu: Ilmoitetut pyramidit jakavat oktaedrin kahdeksaan yhtä suureen pyramidiin, joiden kärjet ovat keskellä O oktaedri. Näin ollen 3-sivuinen kulma pyramidin huipulla on yksi kahdeksasosa 360 asteen kulmasta, ts. yhtä suuri kuin 45 o.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
Vastaus: 45 o.
Harjoitus 16
Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivureunat ovat yhtä suuria kuin 1, ja korkeus Etsi kolmion kulma tämän pyramidin kärjestä.
Ratkaisu: Esitetyt pyramidit jakoivat säännöllisen tetraedrin neljään yhtä suureen pyramidiin, joiden keskellä on kärjet O tetraedri. Näin ollen 3-sivuinen kulma pyramidin huipulla on neljäsosa 360 asteen kulmasta, ts. yhtä suuri kuin 90 o.
Diatilassa vastaus tulee näkyviin hiiren napsautuksen jälkeen.
