چگونه جذر یک عدد را به صورت دستی پیدا کنیم. ریشه دوم. تئوری تفصیلی با مثال ها ریشه 100 چقدر است

مسئله ریشه یابی در ریاضیات مسئله معکوس رساندن یک عدد به توان است. ریشه های مختلفی وجود دارد: ریشه های درجه دوم، ریشه های درجه سوم، ریشه های درجه چهارم و غیره. بستگی به این دارد که این عدد در ابتدا به چه قدرتی افزایش یافته است. ریشه با نماد نشان داده می شود: √ یک ریشه مربع است، یعنی ریشه درجه دوم؛ اگر درجه یک ریشه بزرگتر از درجه دوم باشد، درجه مربوطه در بالای علامت ریشه تعیین می شود. عددی که در زیر علامت ریشه قرار دارد یک عبارت رادیکال است. هنگام پیدا کردن ریشه، چندین قانون وجود دارد که به شما کمک می کند در یافتن ریشه اشتباه نکنید:

• یک ریشه زوج (اگر درجه 2، 4، 6، 8 و غیره باشد) یک عدد منفی وجود ندارد. اگر عبارت رادیکال منفی باشد، اما ریشه یک درجه فرد (3، 5، 7 و غیره) جستجو شود، نتیجه منفی خواهد بود.
• ریشه هر توان یک همیشه یک است: √1 = 1.
• ریشه صفر صفر است: √0 = 0.

چگونه ریشه 100 را پیدا کنیم

اگر مشکل نگوید که چه ریشه درجه ای باید پیدا شود، معمولاً به این معنی است که باید ریشه درجه دوم (مربع) را پیدا کرد.
بیایید √100 = ? باید عددی را پیدا کنیم که وقتی به توان دوم بلند شد، عدد 100 را به دست آورد. بدیهی است که چنین عددی عدد 10 است، زیرا: 10 2 = 100. بنابراین، √100 = 10: جذر 100 است. 10.

انقلاب "تجارت".
Komkov Sergey 12/26/2012

در پس زمینه ورود عادلانه روسیه به WTO، نابودی RGTEU، دانشگاه پیشرو روسیه در سیستم تجارت (و اول از همه، تجارت خارجی) و همچنین برکناری رئیس آن، سیاستمدار معروف سرگئی. بابورین، بیش از یک حماقت به نظر برسید. همه اینها بسیار شبیه یک تحریک از پیش برنامه ریزی شده به نظر می رسد.

به نظر می رسد سازمان تجارت جهانی و عمدتاً آمریکا که در آن نقش کلیدی دارد، نگران پیامدهای احتمالی ورود روسیه به این سازمان بوده است.

اما پس از آن آنها به موقع به یاد آوردند که سازمانی که آنها پرورش دادند و پرورش دادند - مدرسه عالی اقتصاد - برای مدت طولانی و با موفقیت در روسیه فعالیت داشته است. این بود که در سال 1992 با پول بانک جهانی با هدف از بین بردن کل پتانسیل فکری ملت در کشور ما ایجاد شد. تحت رهبری او است که "عامل نفوذ" جمعی اصلی در این منطقه، وزارت آموزش و پرورش و علوم روسیه، امروز فعالیت می کند.

می توان تا بی نهایت در مورد حماقت و بی کفایتی وزیر تازه منتخب آقای لیوانف صحبت کرد که در تشخیص انواع و حوزه های آموزشی مشکل دارد. اما خود آقای لیوانف صفر مطلق بدون چوب است. از لبانشان هر بار که باز می شوند، مسلماً مزخرفات جدیدی بیرون می زند. چهره های رنگارنگ بیشتری پشت سر او ظاهر می شوند. به عنوان مثال، "ایدئولوژیست" اصلی همه تحولات اقتصادی در کشور ما، شهروند ایالات متحده، اوگنی یاسین، و دستیار او، رئیس HSE یاروسلاو کوزمینوف.

این آنها بودند که به تحریک مشاوران آمریکایی از بانک جهانی به طور فعال بر اساس مدرسه عالی اقتصاد کار می کردند که معیارهایی را برای به اصطلاح "نظارت" دانشگاه های روسیه ساختند.

و دیگر بر کسی پوشیده نیست که طبق این "معیارها" مهم ترین موسسات آموزش عالی روسیه در دسته "بی اثر" قرار گرفتند. دانشگاه هایی با تاریخ و سنت های غنی، با پتانسیل خلاقانه عظیم. به عنوان مثال، MARCHI، RSUH، موسسه ادبی.

دانشگاه دولتی تجارت و اقتصاد روسیه - RGTEU نیز در این دسته قرار می گیرد. اگرچه در بسیاری از شاخص های خود، این دانشگاه می تواند صد امتیاز به همان «پلشکا» بدهد که ناگهان تصمیم گرفتند به آن بپیوندند. و اول از همه، در مسائل تربیت متخصص برای سیستم تجارت خارجی.

RGTEU نه تنها ارتباطات بین المللی عظیمی دارد. این به طور کامل ویژگی های توسعه تجارت کشورهای خارجی را مطالعه می کند. شخصیت های برجسته اقتصادی و سیاسی جهان و سفرای کشورهای خارجی مدام در دیوارهای این دانشگاه سخنرانی می کنند. دکترهای افتخاری این دانشگاه از رهبران برجسته جهان هستند. مثلا فیدل کاسترو و هوگو چاوز.

و اینها، همانطور که می دانید، «دوستان قسم خورده» آمریکا هستند. بنابراین از ابزارها برای تخریب چنین مؤسسه آموزشی خطرناکی استفاده شد. تا خدای ناکرده روسیه از "مسیر واقعی" منحرف نشود و به منافع مشتریان آمریکایی خیانت نکند.

و شخصیت خود رئیس - یک سیاستمدار و دانشمند مشهور در روسیه و بسیار فراتر از مرزهای آن - برای عموهای آمریکایی ما مانند استخوان در گلو برجسته بود.

سرگئی بابورین فقط یکی از رهبران اپوزیسیون پارلمانی نبود که در ترکیب قبلی دومای دولتی روسیه جای نایب رئیس را اشغال کرد. او از حامیان فعال سیاست جدید روسیه در سراسر فضای پس از شوروی بود. او بود که در سال 2006 فعالانه به مردم آبخازیا کمک کرد تا از عمیق ترین بحران سیاسی خارج شوند. در آن، اتفاقا، او دوباره توسط همان مقامات دولتی احمق و دولت ریاست جمهوری روسیه، مطیع اراده مستشاران آمریکایی، رانده شد.

به لطف تلاش های سرگئی بابورین، نیروهای مترقی به رهبری سرگئی باگاپش سپس در آبخازیا دست برتر را به دست آوردند. و از سال 2008، آبخازیا به شریک استراتژیک اصلی روسیه در قفقاز شمالی تبدیل شده است.

چنین موضعی بیانگر میهن پرستی سالم و متعادل است. از این رو، بابورین چندین سال ریاست اتحادیه همه مردمی روسیه را بر عهده داشت و سازمان دهنده راهپیمایی های سنتی سالانه روسیه است. نه آنهایی که صلیب شکسته و شعارهای فاشیستی "روسیه فقط برای روس هاست!" و سخنرانی هایی با درخواست برای احترام به منافع ملی روسیه در مسائل سیاست خارجی و تحقق وعده های اجتماعی داده شده به مردم خود برای کل جمعیت کشور کاملاً قابل درک است.

اما این دقیقاً همان چیزی است که سرسپردگان آمریکایی که در دفاتر دولت روسیه مستقر هستند، دوست ندارند. زیرا برای آنها الزام احترام به منافع ملی مانند چاقویی بر قلب است.

بنابراین به ذهن کسی رسید که دو پرنده را با یک سنگ با یک ضربه بکشد: دانشگاهی که متخصصانی را برای تجارت خارجی موفق روسیه تربیت می کند و رئیس وطن پرست آن.

معمولاً احمق ها برای این نوع عمل مناسب ترند. زیرا همانطور که می دانیم آنها نمی دانند واقعاً چه می کنند. اما در این مورد خاص، ممکن است یک اشتباه بسیار جدی رخ دهد که مملو از پیامدهای اجتماعی ناگوار برای کل کشور است.

مسئولین ما با طمع به کینه حکومتی و خود را کاملاً در هر کار ناشایست برحق می دانند، ساده ترین حقیقت را فراموش کرده اند: هیچ قدرتی بر روح جوانی و انگیزه های جوانی ندارند.

دقیقاً این نوع انگیزه بود که دولت ژنرال دوگل در فرانسه را در اواخر دهه 60 قرن گذشته از بین برد. آنجا هم همه چیز با چیزهای به ظاهر بی ضرر شروع شد. و به هرج و مرج عمومی، شورش، آتش زدن اتومبیل ها و ادارات ختم شد.

جوانان (مخصوصاً جوانان سازمان یافته دانشجو) مشتی سیاستمداران اپوزیسیون ورشکسته نیستند که در قدرت بوده اند و به همین دلیل از آن بسیار آزرده می شوند. جوانان دانشجو همواره و در همه زمان ها یکی از موتورهای اصلی انقلاب بوده اند. و جوانان امروزی نیز از این قاعده مستثنی نیستند. کاملا برعکس. این جوانان امروزی هستند که به ویژه نسبت به بی عدالتی و نابرابری اجتماعی به وجود آمده در جامعه حساس هستند، می توانند تندترین و رادیکال ترین گام ها را بردارند. و اگر دولت بخواهد از زور استفاده کند، برایش مهلک خواهد بود. زیرا جوانان هرگز او را به خاطر این موضوع نمی بخشند.

زمانی که آقای لیوانف و شرکت اعلام کردند قصد دارند از زور استفاده کنند تا مشکل آموزش عالی را با تعطیلی و ادغام دانشگاه ها حل کنند، در واقع حکم اعدام خود را امضا کردند. حتی به خود زحمت ندادند به این فکر کنند که چه نیروهای عمیقی را مطرح می کنند. و این نه تنها برای کسانی که امروز در پست های رهبری وزارت آموزش و علوم هستند، بلکه برای کل رهبری روسیه به عنوان یک کل به طرز غم انگیزی پایان خواهد یافت. زیرا حتی شورش جوانان سرکوب شده محلی نیز به فراموشی سپرده نمی شود. با قدرتی تازه در حال بلوغ است. اما اینکه کجا و چه زمانی ضربه خواهد خورد، هیچکس نمی تواند پیش بینی کند.

بنابراین رویدادهای RGTEU فقط در نگاه اول شبیه نوعی "انقلاب تجاری" هستند. در واقع، آنها منادی دیگری هستند - جنگ اجتماعی سخت تر و خونین تر، که در آن هیچ برنده ای وجود نخواهد داشت.

بازنده از قبل مشخص است. این سرزمین مادری ماست. کشوری که هنوز هم گاهی با افتخار به آن روسیه می گوییم.

بنابراین، اقدامات امروز رهبری وزارت آموزش و پرورش در رابطه با یک مؤسسه آموزشی واحد و در رابطه با یک رئیس واحد را می‌توان به‌عنوان دامن زدن به جنگ اجتماعی به نام و به نفع یک کشور دیگر تلقی کرد.

و به این می گویند: خیانت ملی.

امروز در این صفحه از وب سایت خود خواهیم فهمید که جذر 100 چقدر است. بیایید با هم بفهمیم که ریشه دوم 100 چیست، زیرا 1000 دانشمند چندین دهه است که در مورد این موضوع فکر می کنند و بسیاری از محاسبات به این نتیجه اجتناب ناپذیر رسیده اند که چنین ریشه ای اصلا وجود ندارد و به سادگی وجود دارد. محاسبه آن غیر ممکن است همچنین در این مورد بسیار مهم است که دقیقاً سؤال درست را بپرسیم تا جذر 100 را مشخص کنیم. برای دقیق تر، جذر حسابی 100 را محاسبه می کنیم، زیرا در جذر معمولی 100 در نهایت به دو خواهیم رسید. اعداد: 10 و - 10.

با استفاده از یک خط عمودی آشنا، اعداد و ریشه هایی که در پایین سمت راست نوشته شده اند، می توانیم مجموع این اعداد مورد نیاز خود را با استفاده از یک تکنیک ساده حسابی محاسبه کنیم. در آنجا مجذور واحدهای ریشه مورد نیاز خود را پیدا می کنیم، سپس ده ها را ضرب می کنیم و حاصل ضرب ده هر ریشه ای را دو برابر می کنیم و نه سه برابر می کنیم. باید تعدادی اعداد را مربع کنیم تا مجموع به یک عدد دو رقمی تبدیل شود؛ اگر در نهایت عدد 10 را به دست آوریم، پس همه چیز را با شما درست انجام داده ایم. نکته اصلی این است که در ابتدا حداقل کمی با ریاضیات و پیشرفت ریاضی ترکیب جذر قبل از شروع محاسبات آشنا شوید.

یک قانون واحد و اساسی را به خاطر بسپارید: برای استخراج ریشه دوم لازم از هر عدد صحیح، ابتدا هر ریشه ای را که نیاز داریم از تعداد مجموع و صدها آن استخراج می کنیم. اگر عدد برابر یا بزرگتر از 100 باشد، ما شروع به جستجوی ریشه صدها عدد واقعی از این صدها می کنیم، سپس از ده ها هزار عدد واقعی، به خصوص اگر عدد داده شده بسیار بیشتر از 100 باشد. ، پس ما لزوماً ریشه عدد صدها ده هزار یا به عبارت دقیق تر: از یک میلیون عدد معین را استخراج می کنیم. قوانین و توصیه های علمی مختلفی در مورد این موضوع وجود دارد؛ برنامه های مدرسه برای استخراج جذر عدد 100 همیشه بدون تغییر باقی می ماند.

اگر پیشرفت در یافتن ریشه عدد 100 را در نظر بگیریم، باید به این نکته توجه کنیم که به تعداد تعداد محدودی از ضلع ها، در ریشه تعداد ارقام وجود دارد، در حالی که سمت چپ فقط می تواند از یک ضلع تشکیل شده باشد. رقم بر اساس همه اینها، دقیق ترین جذر هر عددی در سیاره زمین، مجموع اعدادی خواهد بود که مجذور آنها در هنگام محاسبه دقیقاً برابر با عدد داده شده است. اینجاست که می‌توانیم دوره کوتاه خود را در محاسبه جذر 100 که برابر با (10) ده خواهد بود، به پایان برسانیم.

کنستانتینووا ورا

چگونه ریشه یک عدد را پیدا کنیم

مسئله ریشه یابی در ریاضیات مسئله معکوس رساندن یک عدد به توان است. ریشه های مختلفی وجود دارد: ریشه های درجه دوم، ریشه های درجه سوم، ریشه های درجه چهارم و غیره. بستگی به این دارد که این عدد در ابتدا به چه قدرتی افزایش یافته است. ریشه با نماد نشان داده می شود: √ یک جذر است، یعنی ریشه درجه دوم؛ اگر درجه یک ریشه بزرگتر از درجه دوم باشد، درجه مربوطه در بالای علامت ریشه تعیین می شود. عددی که در زیر علامت ریشه قرار دارد یک عبارت رادیکال است. هنگام پیدا کردن ریشه، چندین قانون وجود دارد که به شما کمک می کند در یافتن ریشه اشتباه نکنید:

• یک ریشه زوج (اگر درجه 2، 4، 6، 8 و غیره باشد) یک عدد منفی وجود ندارد. اگر عبارت رادیکال منفی باشد، اما ریشه یک درجه فرد (3، 5، 7 و غیره) جستجو شود، نتیجه منفی خواهد بود.
• ریشه هر توان یک همیشه یک است: √1 = 1.
• ریشه صفر صفر است: √0 = 0.

چگونه ریشه 100 را پیدا کنیم

اگر مشکل نگوید که چه ریشه درجه ای باید پیدا شود، معمولاً به این معنی است که باید ریشه درجه دوم (مربع) را پیدا کرد.
بیایید √100 = ? باید عددی را پیدا کنیم که وقتی به توان دوم بلند شد، عدد 100 را به دست آورد. بدیهی است که چنین عددی عدد 10 است، زیرا: 10 2 = 100. بنابراین، √100 = 10: جذر 100 است. 10.

جذر چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

این مفهوم بسیار ساده است. طبیعی است، من می گویم. ریاضیدانان سعی می کنند برای هر عملی واکنشی بیابند. جمع وجود دارد - تفریق نیز وجود دارد. ضرب وجود دارد - تقسیم نیز وجود دارد. مربع وجود دارد ... پس وجود دارد جذر گرفتن!همین. این اقدام ( ریشه دوم) در ریاضیات با این نماد نشان داده شده است:

خود نماد یک کلمه زیبا نامیده می شود " افراطی".

چگونه ریشه را استخراج کنیم؟بهتر است نگاه کنید مثال ها.

جذر 9 چقدر است؟ کدام عدد مربع به ما 9 می دهد؟ 3 مربع به ما 9 می دهد! آنهایی که:

اما جذر صفر چیست؟ مشکلی نیست! صفر چه عددی مربع را می سازد؟ بله صفر میده! به معنای:

فهمیدم، جذر چیست؟سپس در نظر می گیریم مثال ها:

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; 1 4; 9; 5.

تصمیم گرفت؟ واقعا چقدر راحت تره؟!

اما... آدم وقتی فلان کار را با ریشه می بیند چه می کند؟

آدم شروع به غمگینی می کند... به سادگی و سبکی ریشه هایش اعتقادی ندارد. اگرچه به نظر می رسد که می داند جذر چیست...

به این دلیل که فرد هنگام مطالعه ریشه چندین نکته مهم را نادیده گرفته است. سپس این مدها انتقام بی رحمانه ای از آزمون ها و امتحانات می گیرند...

نقطه یک شما باید ریشه ها را از روی دید تشخیص دهید!

جذر 49 چقدر است؟ هفت؟ درست! از کجا فهمیدی ساعت هفت است؟ مربع هفت شد و 49 گرفت؟ درست! لطفا توجه داشته باشید که ریشه را استخراج کنیداز 49 ما باید عملیات معکوس را انجام می دادیم - مربع 7! و مطمئن باشید که از دست ندهیم. یا می توانستند از دست بدهند...

این سختی است استخراج ریشه. مربعشما می توانید از هر شماره ای بدون هیچ مشکلی استفاده کنید. یک عدد را در خودش با یک ستون ضرب کنید - همین. اما برای استخراج ریشهچنین فناوری ساده و ایمن وجود ندارد. ما باید سوار کردنپاسخ دهید و با مربع کردن صحیح بودن آن را بررسی کنید.

این فرآیند پیچیده خلاق - انتخاب پاسخ - بسیار ساده می شود اگر شما یاد آوردنمربع اعداد محبوب مثل جدول ضرب. مثلاً اگر باید 4 را در 6 ضرب کنید، چهار را 6 برابر نمی کنید، درست است؟ پاسخ 24 بلافاصله می آید. اگرچه همه آن را دریافت نمی کنند، بله ...

برای کار آزادانه و موفقیت آمیز با ریشه ها، کافی است مربع اعداد از 1 تا 20 را بدانید. آنجاو بازگشت.آن ها شما باید بتوانید به راحتی هر دو مثلاً 11 و جذر 121 را بخوانید. برای رسیدن به این حفظ، دو راه وجود دارد. اولین مورد یادگیری جدول مربع هاست. این کمک بزرگی در حل مثال ها خواهد بود. دوم حل مثال های بیشتر است. این به شما کمک زیادی می کند تا جدول مربع ها را به خاطر بسپارید.

و بدون ماشین حساب! فقط برای اهداف آزمایشی در غیر این صورت در طول امتحان بی رحمانه سرعتتان را کاهش می دهید...

بنابراین، جذر چیستو چطور استخراج ریشه- فکر می کنم واضح است. حالا بیایید دریابیم که از چه چیزی می توانیم آنها را استخراج کنیم.

نقطه دو ریشه، من شما را نمی شناسم!

از چه اعدادی می توان جذر گرفت؟ بله، تقریباً هر کدام از آنها. راحت تر می توان فهمید که از چه چیزی است ممنوع استآنها را استخراج کنید

بیایید سعی کنیم این ریشه را محاسبه کنیم:

برای این کار باید عددی را انتخاب کنیم که مجذور آن -4 به ما بدهد. انتخاب می کنیم.

چیه، مناسب نیست؟ 2 2 +4 می دهد. (-2) 2 دوباره +4 می دهد! همین... هیچ عددی نیست که با مجذور شدن به ما عدد منفی بدهد! اگرچه من این اعداد را می دانم. اما من به شما نمی گویم). به دانشگاه بروید و خودتان متوجه خواهید شد.

با هر عدد منفی هم همین داستان اتفاق می افتد. از این رو نتیجه گیری:

عبارتی که در آن یک عدد منفی زیر علامت جذر وجود دارد - معنی ندارد! این یک عملیات ممنوع است. به اندازه تقسیم بر صفر حرام است. این واقعیت را محکم به خاطر بسپار!یا به عبارت دیگر:

شما نمی توانید از اعداد منفی جذر مربع استخراج کنید!

اما از بین همه موارد دیگر، ممکن است. به عنوان مثال، محاسبه کاملاً ممکن است

در نگاه اول، این بسیار دشوار است. انتخاب کسرها و مجذور کردن آنها... نگران نباشید. وقتی خواص ریشه ها را درک کنیم، چنین مثال هایی به همان جدول مربع ها کاهش می یابد. زندگی آسان تر خواهد شد!

خوب، کسری. اما هنوز با عباراتی مانند:

خوبه. همه یکسان. جذر دو عددی است که با مجذور شدن دو عدد به ما می دهد. فقط این عدد کاملاً ناهموار است ... اینجاست:

جالب اینجاست که این کسر هرگز تمام نمی شود... چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند. در ریشه های مربع این رایج ترین چیز است. به هر حال، به همین دلیل است که عبارات با ریشه نامیده می شوند غیر منطقی. واضح است که نوشتن چنین کسر نامتناهی همیشه ناخوشایند است. بنابراین به جای کسر نامتناهی آن را به این صورت رها می کنند:

اگر هنگام حل یک مثال، به چیزی رسیدید که قابل استخراج نیست، مانند:

سپس آن را همینطور رها می کنیم. این پاسخ خواهد بود.

شما باید به وضوح معنی نمادها را درک کنید

البته اگر ریشه عدد گرفته شود صاف، باید این کار را انجام دهید. جواب تکلیف مثلاً در فرم است

یک جواب کاملا کامل

و البته، شما باید مقادیر تقریبی را از حافظه بدانید:

این دانش تا حد زیادی به ارزیابی وضعیت در کارهای پیچیده کمک می کند.

نقطه سه حیله گر ترین.

سردرگمی اصلی در کار با ریشه ها از همین نقطه ایجاد می شود. اوست که به توانایی های خودش اعتماد می کند... بیایید با این نکته درست برخورد کنیم!

ابتدا بیایید دوباره جذر چهار عدد از آنها را بگیریم. آیا قبلاً با این ریشه شما را اذیت کرده ام؟) مهم نیست، حالا جالب خواهد شد!

4 چه عددی را مربع می کند؟ خوب، دو، دو - من پاسخ های ناراضی می شنوم ...

درست. دو اما همچنین منهای دو 4 می دهد مجذور... در ضمن جواب

درست و جواب

اشتباه فاحش مثل این.

پس قضیه چیه؟

در واقع، (-2) 2 = 4. و تحت تعریف جذر چهار منهای دوکاملا مناسب... این هم جذر چهار است.

ولی! در درس ریاضی مدرسه مرسوم است که جذر را در نظر بگیرند فقط اعداد غیر منفی!یعنی صفر و همه مثبت هستند. حتی یک اصطلاح خاص اختراع شد: از شماره آ- این غیر منفیعددی که مربع آن است آ. نتایج منفی هنگام استخراج یک جذر حسابی به سادگی کنار گذاشته می شوند. در مدرسه، همه چیز ریشه مربع است - حسابی. اگر چه این مورد به طور خاص ذکر نشده است.

خوب، این قابل درک است. حتی بهتر است با نتایج منفی خود را خسته نکنید ... این هنوز سردرگمی نیست.

سردرگمی هنگام حل معادلات درجه دوم شروع می شود. برای مثال باید معادله زیر را حل کنید.

معادله ساده است، پاسخ را می نویسیم (همانطور که آموزش داده شد):

این پاسخ (البته کاملاً صحیح است) فقط یک نسخه اختصاری است دوپاسخ می دهد:

ایست ایست! درست بالا نوشتم که جذر یک عدد است همیشهغیر منفی! و این یکی از پاسخ ها است - منفی! اختلال. این اولین (اما نه آخرین) مشکلی است که باعث بی اعتمادی به ریشه ها می شود... بیایید این مشکل را حل کنیم. بیایید پاسخ ها را (فقط برای درک!) اینگونه بنویسیم:

پرانتز اصل پاسخ را تغییر نمی دهد. فقط با براکت جداش کردم نشانه هااز جانب ریشه. حالا به وضوح می بینید که خود ریشه (در پرانتز) هنوز یک عدد غیر منفی است! و نشانه ها هستند نتیجه حل معادله. از این گذشته، هنگام حل هر معادله ای باید بنویسیم همه X هایی که با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی، نتیجه صحیح را به دست می دهند. ریشه پنج (مثبت!) با هر دو مثبت و منفی در معادله ما قرار می گیرد.

مثل این. اگر شما فقط جذر را بگیریداز هر چیزی، تو همیشهشما دریافت می کنید یکی غیر منفینتیجه مثلا:

زیرا آن - جذر حسابی.

اما اگر معادله درجه دوم را حل می کنید، مانند:

که همیشهمعلوم می شود دوپاسخ (با مثبت و منفی):

زیرا این راه حل معادله است.

امید، جذر چیستشما نکات خود را روشن کرده اید. اکنون باقی مانده است که بفهمیم با ریشه ها چه کاری می توان انجام داد، خواص آنها چیست. و چه نکات و مشکلاتی وجود دارد ... متاسفم، سنگ!)

همه اینها در درس های زیر است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

هنگام حل مسائل مختلف از درس ریاضی و فیزیک، دانش آموزان و دانشجویان اغلب با نیاز به استخراج ریشه های درجه دوم، سوم یا n مواجه می شوند. البته در عصر فناوری اطلاعات حل چنین مشکلی با استفاده از ماشین حساب کار سختی نخواهد بود. با این حال، موقعیت هایی پیش می آید که استفاده از دستیار الکترونیکی غیرممکن باشد.

به عنوان مثال، بسیاری از امتحانات به شما اجازه نمی دهد که الکترونیک بیاورید. علاوه بر این، ممکن است ماشین حساب در دست نداشته باشید. در چنین مواردی، دانستن حداقل چند روش برای محاسبه رادیکال ها به صورت دستی مفید است.

پیدا کردن ریشه های مربع با استفاده از جدول مربع

یکی از ساده ترین راه ها برای محاسبه ریشه ها این است که با استفاده از میز مخصوص. چیست و چگونه از آن به درستی استفاده کنیم؟

با استفاده از جدول، می توانید مربع هر عددی را از 10 تا 99 پیدا کنید. ردیف های جدول حاوی مقادیر ده ها و ستون ها حاوی مقادیر واحد هستند. سلول در تقاطع یک سطر و یک ستون شامل مربع یک عدد دو رقمی است. برای محاسبه مربع 63، باید یک ردیف با مقدار 6 و یک ستون با مقدار 3 پیدا کنید. در محل تقاطع، سلولی با شماره 3969 پیدا می کنیم.

از آنجایی که استخراج ریشه عمل معکوس مربع کردن است، برای انجام این عمل باید برعکس عمل کنید: ابتدا سلولی را با عددی که رادیکال آن را می خواهید محاسبه کنید پیدا کنید، سپس از مقادیر ستون و سطر برای تعیین پاسخ استفاده کنید. . به عنوان مثال، محاسبه جذر 169 را در نظر بگیرید.

سلولی با این عدد در جدول پیدا می کنیم، به صورت افقی ده ها را تعیین می کنیم - 1، عمودی واحدها را - 3. پاسخ: √169 = 13.

به همین ترتیب، می توانید ریشه های مکعب و nام را با استفاده از جداول مناسب محاسبه کنید.

مزیت روش سادگی و عدم وجود محاسبات اضافی است. معایب آن واضح است: این روش فقط برای محدوده محدودی از اعداد قابل استفاده است (تعدادی که ریشه برای آن پیدا می شود باید در محدوده 100 تا 9801 باشد). علاوه بر این، اگر عدد داده شده در جدول نباشد، کار نخواهد کرد.

فاکتورسازی اولیه

اگر جدول مربع ها در دسترس نیست یا پیدا کردن ریشه با کمک آن غیرممکن است، می توانید امتحان کنید عدد زیر ریشه را به فاکتورهای اول تبدیل کنید. عوامل اول آنهایی هستند که می توانند به طور کامل (بدون باقیمانده) فقط بر خودشان یا بر یک تقسیم شوند. مثال ها می توانند 2، 3، 5، 7، 11، 13 و غیره باشند.

بیایید به عنوان مثال به محاسبه ریشه با استفاده از √576 نگاه کنیم. بیایید آن را به عوامل اصلی تقسیم کنیم. نتیجه زیر را دریافت می کنیم: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². با استفاده از ویژگی اصلی ریشه ها √a² = a، از ریشه ها و مربع ها خلاص می شویم و سپس پاسخ را محاسبه می کنیم: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

اگر هر یک از ضرب کننده ها جفت خودش را نداشته باشد چه باید کرد؟ به عنوان مثال، محاسبه √54 را در نظر بگیرید. پس از فاکتورگیری، نتیجه را به شکل زیر بدست می آوریم: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. قسمت غیر قابل جابجایی را می توان زیر ریشه رها کرد. برای اکثر مسائل هندسه و جبر، این به عنوان پاسخ نهایی محسوب می شود. اما در صورت نیاز به محاسبه مقادیر تقریبی می توانید از روش هایی استفاده کنید که در ادامه به آنها پرداخته خواهد شد.

روش هرون

وقتی حداقل باید تقریباً بدانید که ریشه استخراج شده برابر است (در صورت غیرممکن بودن به دست آوردن یک عدد صحیح) چه باید کرد؟ یک نتیجه سریع و نسبتا دقیق با استفاده از روش هرون به دست می آید. ماهیت آن استفاده از یک فرمول تقریبی است:

√R = √a + (R - a) / 2√a،

که در آن R عددی است که ریشه آن باید محاسبه شود، a نزدیکترین عددی است که مقدار ریشه آن مشخص است.

بیایید به نحوه عملکرد این روش در عمل نگاه کنیم و میزان دقیق بودن آن را ارزیابی کنیم. بیایید محاسبه کنیم که √111 برابر است. نزدیکترین عدد به 111 که ریشه آن مشخص است 121 است. بنابراین، R = 111، a = 121. مقادیر را در فرمول جایگزین کنید:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

حال بیایید صحت روش را بررسی کنیم:

10.55² = 111.3025.

خطای روش تقریباً 0.3 بود. اگر دقت روش نیاز به بهبود داشته باشد، می توانید مراحل توضیح داده شده قبلی را تکرار کنید:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

بیایید صحت محاسبه را بررسی کنیم:

10.536² = 111.0073.

پس از اعمال مجدد فرمول، خطا کاملاً ناچیز شد.

محاسبه ریشه با تقسیم طولانی

این روش برای یافتن مقدار ریشه دوم کمی پیچیده تر از روش های قبلی است. با این حال، در بین سایر روش های محاسبه بدون ماشین حساب دقیق ترین است.

فرض کنید که باید جذر آن را تا 4 رقم اعشار دقیق پیدا کنید. بیایید الگوریتم محاسبه را با استفاده از مثال یک عدد دلخواه 1308.1912 تجزیه و تحلیل کنیم.

1. ورق کاغذ را با یک خط عمودی به 2 قسمت تقسیم کنید و سپس یک خط دیگر از آن به سمت راست و کمی زیر لبه بالایی بکشید. بیایید عدد را در سمت چپ بنویسیم، آن را به گروه های 2 رقمی تقسیم کنیم، به سمت راست و چپ نقطه اعشار حرکت کنیم. اولین رقم سمت چپ ممکن است بدون جفت باشد. اگر علامت در سمت راست عدد وجود نداشته باشد، باید 0 را اضافه کنید. در مورد ما، نتیجه 13 08.19 12 خواهد بود.
2. بیایید بزرگترین عددی را انتخاب کنیم که مربع آن کوچکتر یا مساوی با ارقام گروه اول باشد. در مورد ما 3 است. بیایید آن را در بالا سمت راست بنویسیم. 3 اولین رقم نتیجه است. در سمت راست پایین 3×3 = 9 را نشان می دهیم. این برای محاسبات بعدی مورد نیاز خواهد بود. از 13 در ستون 9 را کم می کنیم، باقیمانده 4 به دست می آید.
3. بیایید جفت اعداد بعدی را به باقیمانده 4 اختصاص دهیم. ما 408 می گیریم.
4. عدد بالا سمت راست را در 2 ضرب کنید و آن را در پایین سمت راست یادداشت کنید و _ x _ = را به آن اضافه کنید. 6_ x _ = می گیریم.
5. به جای خط تیره، باید همان عدد را جایگزین کنید، کمتر یا مساوی 408. ما 66 × 6 = 396 می گیریم. ما 6 را از بالا سمت راست می نویسیم، زیرا این رقم دوم نتیجه است. با کم کردن 396 از 408، 12 به دست می آید.
6. بیایید مراحل 3-6 را تکرار کنیم. از آنجایی که ارقام به پایین منتقل شده در قسمت کسری عدد هستند، لازم است یک نقطه اعشار در بالا درست بعد از 6 قرار دهید. بیایید نتیجه دوگانه را با خط تیره یادداشت کنیم: 72_ x _ =. یک عدد مناسب 1 خواهد بود: 721×1 = 721. بیایید آن را به عنوان پاسخ یادداشت کنیم. بیایید 1219 - 721 = 498 کم کنیم.
7. بیایید دنباله اقدامات داده شده در پاراگراف قبل را سه بار دیگر انجام دهیم تا تعداد ارقام اعشاری مورد نیاز را بدست آوریم. اگر کاراکترهای کافی برای محاسبات بیشتر وجود ندارد، باید دو صفر به عدد فعلی در سمت چپ اضافه کنید.

در نتیجه، پاسخ را دریافت می کنیم: √1308.1912 ≈ 36.1689. اگر عمل را با استفاده از ماشین حساب بررسی کنید، می توانید مطمئن شوید که همه علائم به درستی شناسایی شده اند.

محاسبه ریشه مربع به صورت بیتی

روش بسیار دقیق است. علاوه بر این، کاملا قابل درک است و نیازی به حفظ فرمول ها یا الگوریتم پیچیده اقدامات ندارد، زیرا ماهیت روش انتخاب نتیجه صحیح است.

بیایید ریشه عدد 781 را استخراج کنیم. بیایید دنباله اعمال را با جزئیات بررسی کنیم.

1. بیایید دریابیم که کدام رقم از مقدار ریشه دوم مهم ترین خواهد بود. برای انجام این کار، 0، 10، 100، 1000 و غیره را مربع می کنیم و متوجه می شویم که عدد رادیکال بین کدام یک از آنها قرار دارد. ما آن 10 مربع را دریافت می کنیم< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. بیایید مقدار ده ها را انتخاب کنیم. برای انجام این کار، به نوبت به توان 10، 20، ...، 90 افزایش می دهیم تا زمانی که عددی بزرگتر از 781 به دست آوریم. مقدار نتیجه n در 20 خواهد بود< n <30.
3. همانند مرحله قبل، مقدار رقم واحد انتخاب می شود. بیایید 21.22، ...، 29 را یکی یکی مجذور کنیم: 21² = 441، 22² = 484، 23² = 529، 24² = 576، 25² = 625، 26² = 676، 27² = 729، 28² = 7.< n < 28.
4. هر رقم بعدی (دهم، صدم و غیره) به همان روشی که در بالا نشان داده شده محاسبه می شود. محاسبات تا رسیدن به دقت مورد نیاز انجام می شود.

ویدئو

این ویدیو به شما نشان می دهد که چگونه بدون استفاده از ماشین حساب، ریشه های مربع را پیدا کنید.