زوایای مثلثی. ارائه "زاویه چند وجهی" زوایای چند وجهی عمودی
1 اسلاید
زوایای چندوجهی محدب اگر یک شکل محدب باشد، یعنی به همراه هر دو نقطه آن، به طور کامل قسمتی را که آنها را به هم متصل می کند، محدب می گویند. شکل نمونه هایی از زوایای چندوجهی محدب و غیر محدب را نشان می دهد. قضیه. مجموع تمام زوایای صفحه یک زاویه چند وجهی محدب کمتر از 360 درجه است.
2 اسلاید
چند وجهی محدب اگر یک زاویه محدب باشد، یک زاویه چندوجهی محدب نامیده می شود، یعنی همراه با هر دو نقطه آن، به طور کامل شامل قطعه ای باشد که آنها را به هم متصل می کند. شکل نمونه هایی از هرم محدب و غیر محدب را نشان می دهد. مکعب، متوازی الاضلاع، منشور مثلثی و هرم چند وجهی محدب هستند.
3 اسلاید
ویژگی 1 خاصیت 1. در یک چندوجهی محدب، همه وجوه چند ضلعی محدب هستند. در واقع، فرض کنید F مقداری از چند وجهی M باشد، و نقاط A و B متعلق به وجه F باشد. از شرط تحدب چند وجهی M، نتیجه می شود که قطعه AB به طور کامل در چند وجهی M قرار دارد. قطعه در صفحه چند ضلعی F قرار دارد، به طور کامل در این چند ضلعی قرار می گیرد، یعنی F یک چند ضلعی محدب است.
4 اسلاید
ویژگی 2 در واقع، اجازه دهید M یک چندوجهی محدب باشد. اجازه دهید یک نقطه S داخلی از چندوجهی M را در نظر بگیریم، یعنی نقطه ای که به هیچ وجهی از چندوجهی M تعلق ندارد. اجازه دهید نقطه S را با رئوس چندوجهی M به وسیله پاره ها وصل کنیم. توجه داشته باشید که به دلیل محدب بودن چند وجهی M، همه این قطعات در M قرار دارند. اهرام با راس S را در نظر بگیرید که پایه های آن وجه های چندوجهی M است. این هرم ها کاملاً در M قرار دارند و با هم تشکیل می شوند. چند وجهی M. خاصیت 2. هر چند وجهی محدب می تواند از هرمهایی با راس مشترک تشکیل شود که پایه های آنها سطح یک چندوجهی را تشکیل می دهند.
5 اسلاید
تمرین 1 در شکل، شکل های صفحه محدب و غیر محدب را نشان دهید. پاسخ: الف)، د) - محدب؛ ب) ج) - غیر محدب.
6 اسلاید
تمرین 2 آیا محل تلاقی شکل های محدب همیشه یک شکل محدب است؟ پاسخ: بله.
7 اسلاید
تمرین 3 آیا اتحاد شکل های محدب همیشه شکل محدب است؟ پاسخ: خیر.
8 اسلاید
تمرین 4 آیا می توان یک زاویه چهاروجهی محدب با زوایای مسطح زیر تشکیل داد: الف) 56o، 98o، 139o و 72o. ب) 32o، 49o، 78o و 162o؛ ج) 85o، 112o، 34o و 129o؛ د) 43o، 84o، 125o و 101o. بدون پاسخ؛ ب) بله؛ ج) خیر؛ د) بله.
اسلاید 9
تمرین 5 در شکل چند وجهی محدب و غیر محدب را نشان دهید. پاسخ: ب)، د) - محدب؛ الف)، ج)، د) - غیر محدب.
10 اسلاید
تمرین 6 آیا یک چند ضلعی غیر محدب می تواند صورت یک چندوجهی محدب باشد؟ پاسخ: خیر.
اسلاید 1
اسلاید 2
قضیه. در یک زاویه سه وجهی، مجموع زوایای صفحه کمتر از 360 و مجموع هر دو از آنها از سومی بزرگتر است. داده شده: Оabc – زاویه سه وجهی; (ب؛ ج) = ; (الف؛ ج) = ; (الف؛ ب) = . ویژگی اصلی زاویه سه وجهی. ثابت کنید: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
اسلاید 3
اثبات I. اجازه دهید< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
اسلاید 4
فرمول سه کسینوس عواقب. 1) برای محاسبه زاویه بین خط مستقیم و صفحه فرمول قابل اجرا است: 2) زاویه بین خط مستقیم و صفحه کوچکترین زاویه ای است که این خط مستقیم با خطوط مستقیم این صفحه تشکیل می دهد.
اسلاید 5
II. در لبه های این زاویه نقاط A’، B’ و C’ را طوری قرار می دهیم که |OA’| = |OB'| = |OC'| سپس مثلث های A’OB’، B’OC’ و C’OA’ متساوی الساقین هستند و زوایای آنها در قاعده 1 تا 6 تند است. برای زوایای سه‌وجهی با رئوس A، B و C، نابرابری‌های اثبات شده در پاراگراف I را اعمال می‌کنیم: C’A’B’< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
اسلاید 6
III. بیایید پرتو c را - مکمل پرتو c در نظر بگیریم و برای زاویه سه‌وجهی Оabc از نابرابری ثابت شده در پاراگراف II برای یک زاویه سه‌وجهی دلخواه استفاده می‌کنیم: (180 -) + (180 -) +< 360 + >. دو نابرابری دیگر به طور مشابه ثابت می شوند. داده شده: Оabc – زاویه سه وجهی; (ب؛ ج) = ; (الف؛ ج) = ; (الف؛ ب) = . ثابت کنید: + +< 360 ; 2) + >; + > + > . با'
اسلاید 7
نتیجه. در هرم مثلثی منظم، زاویه صفحه در راس کمتر از 120 است.
اسلاید 8
تعریف. به زوایای سه وجهی مساوی گفته می شود که تمام زوایای صفحه و دو وجهی متناظر آنها با هم برابر باشند. نشانه های برابری زوایای سه وجهی. زوایای سه وجهی مساوی هستند اگر به ترتیب برابر باشند: دو زاویه صفحه و یک زاویه دو وجهی بین آنها. 2) دو زاویه دو وجهی و یک زاویه صاف بین آنها. 3) سه زاویه مسطح؛ 4) سه زاویه دو وجهی. برنج. 4b
اسلاید 9
. . با توجه به زاویه سه وجهی Oabc. اجازه دهید< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
اسلاید 10
II. اجازه دهید > 90 ; > 90، سپس پرتو c، مکمل c، و زاویه سه وجهی مربوطه Oabc را در نظر بگیرید، که در آن زوایای صفحه - و - تیز هستند، و زاویه صفحه و زاویه دو وجهی یکسان هستند. طبق I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com
شرح اسلاید:
زوایای دو وجهی کار توسط: معلم ریاضیات L. A. Serebryanskaya تکمیل شد.
زاویه دو وجهی بخشی از فضای محصور بین دو نیم صفحه است که یک مرز مشترک دارند.
نیم صفحات α و β که یک زاویه دو وجهی را تشکیل می دهند وجه های آن نامیده می شوند
اجازه دهید یک نقطه دلخواه C را در لبه A D زاویه دو وجهی انتخاب کنیم و صفحه α را عمود بر لبه AP از طریق آن رسم کنیم. قدر φ. این زاویه را زاویه دو وجهی خطی می نامند
وقتی دو صفحه تلاقی می کنند، چهار زاویه دو وجهی تشکیل می شود. بزرگی کوچکتر از این زوایای دو وجهی را زاویه بین این صفحات می گویند.
اگر صفحات موازی باشند، زاویه بین آنها طبق تعریف 0 درجه است. اگر φ زاویه بین دو صفحه باشد، آنگاه 0 درجه است
مسئله در مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1، زاویه بین صفحات BC 1 D و BA 1 D را پیدا کنید. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
مسئله داده شده: مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 پیدا کنید: زاویه بین صفحات BC 1 D و BA 1 D راه حل: A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O ∆ BDA 1 و ∆ DC 1 B - متساوی الساقین AO و C 1 O عمود بر DB =» A 1 O C 1 مورد نظر C 1 O قطر مربعی است که ضلع آن برابر با 1 است.
http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/؟ t=320
با موضوع: تحولات روش شناختی، ارائه ها و یادداشت ها
یکی از مباحث اصلی در استریومتری مبحث "زوایای دو وجهی" است. علیرغم اینکه دانش آموزان به راحتی مفاهیم زاویه دو وجهی و زاویه خطی آن را یاد می گیرند، مشکلات زیادی در هنگام حل ...
زاویه دو وجهی شکلی است که از یک خط مستقیم تشکیل شده است. آ و دو نیم صفحه با یک مرز مشترک آ ، متعلق به یک هواپیما نیست.
سر راست آ – لبه دو وجهی
آ
در زندگی روزمره اغلب با اشیایی مواجه می شویم که شکل زاویه دو وجهی دارند. از این قبیل اشیاء می توان به سقف شیروانی ساختمان ها، کتاب نیمه باز، دیوار اتاق همراه با کف و... اشاره کرد.
دو نیم صفحه - وجه هایی با زاویه دو وجهی
الگوریتم ساخت زاویه خطی
زاویه ROK - زاویه خطی زاویه دو وجهی P DE K.
اندازه گیری درجه یک زاویه دو وجهی، اندازه گیری درجه زاویه خطی آن است.
زوایای سه وجهی و چند وجهی
تعریف زوایای سه وجهی و چند وجهی را معرفی کنید.
انواع زوایای چند وجهی را بشناسید.
خواص زوایای چند وجهی را مطالعه کنید و نحوه به کارگیری آنها در حل مسائل را بیاموزید.
زوایای چند وجهی
سطحی که توسط مجموعه محدودی از زوایای صفحه تشکیل شده است آ 1 S.A. 2 , آ 2 S.A. 3 , …, آ n -1 S.A. n , آ n S.A. 1 با تاپ مشترک اسکه در آن زوایای مجاور به جز نقاط یک پرتو مشترک، نقاط مشترک ندارند و زوایای غیر همسایه به جز یک راس مشترک، نقاط مشترکی ندارند، سطح چندوجهی نامیده می شود.
شکلی که از سطح مشخص شده و یکی از دو قسمت فضایی که توسط آن محدود شده است، زاویه چندوجهی نامیده می شود. تاپ مشترک اسراس یک زاویه چند وجهی نامیده می شود. اشعه ها S.A. 1 , …, S.A. nلبه های یک زاویه چند وجهی و خود زوایای صفحه نامیده می شوند آ 1 S.A. 2 , آ 2 S.A. 3 , …, آ n -1 S.A. n , آ n S.A. 1 - وجوه با زاویه چند وجهی. زاویه چند وجهی با حروف نشان داده می شود S.A. 1 … آ nراس و نقاط روی لبه های آن را نشان می دهد.
زوایای چند وجهی
بسته به تعداد وجه ها، زوایای چند وجهی سه وجهی، چهار وجهی، پنج ضلعی و غیره هستند.
زوایای سه ضلعی
قضیه. هر زاویه صفحه یک زاویه سه وجهی کمتر از مجموع دو زاویه صفحه دیگر آن است.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
زوایای سه ضلعی
با ملک. مجموع زوایای صفحه یک زاویه سه وجهی کمتر از 360 است.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
زوایای چند وجهی محدب
یک زاویه چندوجهی محدب نامیده می شود که یک شکل محدب باشد، یعنی همراه با هر دو نقطه از آن، به طور کامل شامل بخش اتصال آنها باشد. شکل نمونه هایی از زوایای چندوجهی محدب و غیر محدب را نشان می دهد.
ویژگی. مجموع تمام زوایای صفحه یک زاویه چند وجهی محدب کمتر از 360 درجه است.
زوایای چند وجهی عمودی
شکل ها نمونه هایی از زوایای عمودی سه وجهی، چهار وجهی و پنج ضلعی را نشان می دهند
قضیه. زوایای عمودی برابر هستند.
اندازه گیری زوایای چند وجهی
از آنجایی که مقدار درجه یک زاویه دو وجهی توسعه یافته با مقدار درجه زاویه خطی مربوطه اندازه گیری می شود و برابر با 180 درجه است، فرض می کنیم که مقدار درجه کل فضا که از دو زاویه دو وجهی توسعه یافته تشکیل شده است برابر است با 360 درجه اندازه یک زاویه چند وجهی، که بر حسب درجه بیان می شود، نشان می دهد که یک زاویه چند وجهی چقدر فضا را اشغال می کند. به عنوان مثال، یک زاویه سه وجهی یک مکعب یک هشتم فضا را اشغال می کند و بنابراین، مقدار درجه آن 360 o است: 8 = 45 o. زاویه مثلثی در درست است n- منشور ضلعی برابر با نصف زاویه دو وجهی در لبه جانبی است. با توجه به مساوی بودن این زاویه دو وجهی، به این نتیجه می رسیم که زاویه سه وجهی منشور برابر است.
تمرین 1
آیا یک زاویه سه وجهی با زوایای مسطح وجود دارد: الف) 30 درجه، 60 درجه، 20 درجه. ب) 45 درجه، 45 درجه، 90 درجه؛ ج) 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه؟
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
بدون پاسخ؛
تمرین 2
مثال هایی از چند وجهی بیاورید که وجوه آن ها، که در رأس آن ها متقاطع می شوند، فقط عبارتند از: الف) زوایای سه وجهی. ب) زوایای چهار وجهی. ج) زوایای پنج ضلعی.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
جواب: الف) چهار وجهی، مکعب، دوازده وجهی.
ب) هشت وجهی؛
ج) ایکوساهدر.
تمرین 3
دو زاویه صفحه یک زاویه سه وجهی 70 درجه و 80 درجه هستند. مرزهای زاویه صفحه سوم چیست؟
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: 10 o 
1. شکل یک چندوجهی را نشان می دهد؛ تمام زوایای دو وجهی چند وجهی زاویه قائم هستند. فاصله بین رئوس A و C2 را پیدا کنید
طبق قضیه فیثاغورث یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید
3. زاویه CAD2 چند وجهی نشان داده شده در شکل را پیدا کنید. تمام زوایای دو وجهی یک چندوجهی قائمه هستند. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.
مثلث CAD2 را در نظر بگیرید که در آن AC = CD2 = AD2 است، زیرا آنها مورب مربع های مساوی هستند، بنابراین، مثلث CAD2 متساوی الاضلاع است، بنابراین تمام زوایای آن برابر با 60 درجه است.
4. زاویه ABD چند وجهی نشان داده شده در شکل را پیدا کنید. تمام زوایای دو وجهی یک چندوجهی قائمه هستند. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.
توجه داشته باشید که ABCD مربعی است با ضلع 2 و BD قطر آن است یعنی مثلث ABD قائم الزاویه و متساوی الساقین AB=AD است. زاویه ABD 45 درجه است.
5. شکل یک چندوجهی را نشان می دهد؛ تمام زوایای دو وجهی چند وجهی زوایای قائم هستند. مربع فاصله بین رئوس B2 و D3 را پیدا کنید.
6. شکل یک چندوجهی را نشان می دهد؛ تمام زوایای دو وجهی چند وجهی زوایای قائم هستند. مربع فاصله بین رئوس A و C3 را پیدا کنید.
7. زاویه EAD2 چند وجهی نشان داده شده در شکل را پیدا کنید. تمام زوایای دو وجهی یک چندوجهی قائمه هستند. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.
تمرین 5
در یک زاویه سه وجهی، دو زاویه صفحه برابر با 45 درجه است. زاویه دو وجهی بین آنها درست است. زاویه صفحه سوم را پیدا کنید.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: 6 0 o.
تمرین 6
زوایای صفحه یک زاویه سه وجهی 60 درجه، 60 درجه و 90 درجه است. بخش های مساوی در لبه های آن از راس گذاشته شده است O.A. , O.B. , O.C. . زاویه دو وجهی را بین صفحه زاویه 90 درجه و صفحه پیدا کنید ABC .
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: 9 0 o.
تمرین 7
هر زاویه صفحه یک زاویه سه وجهی 60 درجه است. در یکی از لبه های آن یک قطعه به اندازه 3 سانتی متر از بالا جدا شده است و یک عمود از انتهای آن به طرف مقابل افتاده است. طول این عمود را پیدا کنید.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: ببینید
تمرین 8
مکان نقاط داخلی یک زاویه سه وجهی با فاصله مساوی از وجوه آن را پیدا کنید.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: پرتویی که راس آن راس یک زاویه سه وجهی است که روی خط تقاطع صفحاتی که زوایای دو وجهی را به دو نیم تقسیم می کند، قرار دارد.
تمرین 9
مکان نقاط داخلی یک زاویه سه وجهی با فاصله مساوی از لبه های آن را پیدا کنید.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: پرتویی که راس آن راس یک زاویه سه وجهی است که روی خط تقاطع صفحاتی که از نیمسازهای زوایای صفحه و عمود بر صفحات این زوایا می گذرند، قرار دارد.
تمرین 10
مقادیر تقریبی زوایای سه وجهی چهار وجهی را بیابید.
برای زوایای دو وجهی یک چهار وجهی داریم:
70 حدود 30 از کجا می آید؟
برای زوایای سه وجهی یک چهار وجهی داریم:
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: 15 حدود 45 اینچ
تمرین 11
مقادیر تقریبی زوایای چهار وجهی هشت وجهی را بیابید.
برای زوایای دو وجهی هشت وجهی داریم:
109 o 30 از کجا می آید؟
برای زوایای چهار وجهی هشت وجهی داریم:
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: 38 حدود 56 اینچ
تمرین 12
مقادیر تقریبی زوایای پنج ضلعی ایکوز وجهی را بیابید.
برای زوایای دو وجهی ایکوز وجهی داریم:
کجا 138 حدود 11 اینچ است
برای زوایای پنج ضلعی ایکوز وجهی داریم:
پاسخ: 75 حدود 28 اینچ
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
تمرین 13
مقادیر تقریبی زوایای سه وجهی دوازده وجهی را بیابید.
برای زوایای دو وجهی دوازده وجهی داریم:
کجا 116 حدود 3 4 اینچ است
برای زوایای سه وجهی دوازده وجهی داریم:
پاسخ: 84 حدود 51 ".
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
تمرین 14
در یک هرم چهار گوش منظم SABCDضلع قاعده 2 سانتی متر، ارتفاع 1 سانتی متر است، زاویه چهار ضلعی را در بالای این هرم پیدا کنید.
راه حل: اهرام نشان داده شده مکعب را به شش هرم مساوی با رئوس در مرکز مکعب تقسیم می کنند. در نتیجه، زاویه 4 ضلعی در بالای هرم یک ششم زاویه 360 درجه است، یعنی. برابر با 60 o.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: 60 o.
تمرین 15
در یک هرم مثلثی منظم، لبه های جانبی برابر با 1 است، زوایای راس آن 90 درجه است. زاویه مثلث را در راس این هرم پیدا کنید.
راه حل: اهرام نشان داده شده هشت وجهی را به هشت هرم مساوی با رئوس در مرکز تقسیم می کنند. Oهشت وجهی در نتیجه، زاویه 3 وجهی در بالای هرم یک هشتم زاویه 360 درجه است، یعنی. برابر با 45 o.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
پاسخ: 45 o.
تمرین 16
در یک هرم مثلثی منتظم، لبه های جانبی برابر با 1 است و ارتفاع، زاویه مثلث را در رأس این هرم بیابید.
راه حل: اهرام نشان داده شده یک چهار وجهی منظم را به چهار هرم مساوی با رئوس در مرکز تقسیم می کنند. Oچهار وجهی در نتیجه، زاویه 3 وجهی در بالای هرم یک چهارم زاویه 360 درجه است، یعنی. برابر با 90 o.
در حالت اسلاید، پس از کلیک روی ماوس، پاسخ ظاهر می شود.
