Kolmnurksed nurgad. Ettekanne "polüedriline nurk" Vertikaalsed hulktahukad nurgad
1 slaid
KUMERAD POLÜEDERILISED NURGAD Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see on kumer kujund, st koos mis tahes kahe punktiga sisaldab see täielikult neid ühendavat lõiku. Joonisel on kujutatud kumerate ja mittekumerate hulktahuliste nurkade näiteid. Teoreem. Kumera hulktahuka nurga kõigi tasapindade nurkade summa on väiksem kui 360°.
2 slaidi
KUMERAD POLÜHEEDID Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see on kumer kujund, st koos kahe punktiga sisaldab see täielikult neid ühendavat lõiku. Joonisel on kujutatud kumera ja mittekumera püramiidi näiteid. Kuubik, rööptahukas, kolmnurkne prisma ja püramiid on kumerad hulktahukad.
3 slaidi
OMADUS 1 Omadus 1. Kumeras hulktahukas on kõik tahud kumerad hulknurgad. Tõepoolest, olgu F hulktahuka M mingi tahk ning punktid A ja B kuuluvad tahku F. Hulktahu M kumeruse tingimusest järeldub, et lõik AB sisaldub polüeedris M täielikult. segment asub hulknurga F tasapinnal, sisaldub see täielikult selles hulknurgas, st F on kumer hulknurk.
4 slaidi
OMADUS 2 Tõepoolest, olgu M kumer hulktahukas. Võtame hulktahuka M mõne sisepunkti S, st punkti, mis ei kuulu hulktahuka M ühegi tahu külge. Ühendame punkt S hulktahuka M tippudega segmentide kaupa. Pange tähele, et polüeedri M kumeruse tõttu sisalduvad kõik need segmendid M-s. Vaatleme püramiide, mille tipp on S, mille alused on polüeedri M tahud. Need püramiidid sisalduvad täielikult M-s ja koos moodustavad nad hulktahukas M. Omadus 2. Iga kumer hulktahukas võib koosneda ühise tipuga püramiididest, mille alused moodustavad hulktahuka pinna.
5 slaidi
Harjutus 1 Märkige joonisel kumerad ja mittekumerad tasapinnalised kujundid. Vastus: a), d) – kumer; b), c) – mittekumer.
6 slaidi
Harjutus 2 Kas kumerate kujundite lõikepunkt on alati kumer? Vastus: Jah.
7 slaidi
3. ülesanne Kas kumerkujude liit on alati kumer kujund? Vastus: Ei.
8 slaidi
Harjutus 4 Kas kumerat tetraeedrinurka on võimalik moodustada järgmiste lamenurkadega: a) 56o, 98o, 139o ja 72o; b) 32o, 49o, 78o ja 162o; c) 85o, 112o, 34o ja 129o; d) 43o, 84o, 125o ja 101o. Pole vastust; b) jah; c) ei; d) jah.
Slaid 9
Harjutus 5 Märkige joonisel kumerad ja mittekumerad hulktahukad. Vastus: b), d) – kumer; a), c), d) – mittekumer.
10 slaidi
6. ülesanne Kas mittekumer hulknurk võib olla kumera hulktahuka tahk? Vastus: Ei.
Slaid 1
Slaid 2
Teoreem. Kolmnurkse nurga korral on tasapinna nurkade summa väiksem kui 360 ja nende kahe summa on suurem kui kolmas. Antud: Оabc – kolmetahuline nurk; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Kolmnurkse nurga põhiomadus. Tõesta: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Slaid 3
Tõestus I. Las< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Slaid 4
Kolme koosinuse valem. Tagajärjed. 1) Sirge ja tasapinna vahelise nurga arvutamiseks kasutatakse järgmist valemit: 2) Sirge ja tasapinna vaheline nurk on väikseim nurkadest, mille see sirge selle tasandi sirgjoontega moodustab.
Slaid 5
II. Selle nurga servadele asetame punktid A’, B’ ja C’ nii, et |OA’| = |OB'| = |OC'| Siis on kolmnurgad A’OB’, B’OC’ ja C’OA’ võrdhaarsed ning nende nurgad alustel 1–6 on teravnurgad. Kolmnurksete nurkade puhul tippudega A’, B’ ja C’ rakendame lõigus I tõestatud võrratusi: C’A’B’< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Slaid 6
III. Vaatleme kiirt c’ – täiendavat kiirt c ja kolmnurknurga Оabc jaoks kasutame suvalise kolmnurknurga jaoks II lõigus tõestatud võrratust: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Ülejäänud kaks ebavõrdsust tõestatakse sarnaselt. Antud: Оabc – kolmetahuline nurk; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Tõesta: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + >. koos'
Slaid 7
Tagajärg. Tavalise kolmnurkse püramiidi korral on tasandi nurk tipus väiksem kui 120.
Slaid 8
Definitsioon. Kolmnurksed nurgad on võrdsed, kui kõik neile vastavad tasapinnad ja kahetahulised nurgad on võrdsed. Kolmnurksete nurkade võrdsuse märgid. Kolmnurksed nurgad on võrdsed, kui neil on vastavalt võrdsed: kaks tasapinda ja nendevaheline kahetahuline nurk; 2) kaks kahetahulist nurka ja nendevaheline tasanurk; 3) kolm lamenurka; 4) kolm kahetahulist nurka. Riis. 4b
Slaid 9
. . Antud kolmnurkne nurk Oabc. Lase< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
Slaid 10
II. Olgu > 90 ; > 90, siis arvestage c-ga komplementaarset kiirt c’ ja vastavat kolmnurknurka Oabc’, milles tasapinnalised nurgad – ja – on teravad ning tasapind ja kahetahuline nurk on samad. I. järgi: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidi pealdised:
Dihedraalsed nurgad Töö lõpetas: matemaatikaõpetaja L. A. Serebrjanskaja.
Dihedraalnurk on osa ruumist, mis on suletud kahe pooltasandi vahele, millel on üks ühine piir.
Pooltasapindu α ja β, mis moodustavad kahetahulise nurga, nimetatakse selle tahkudeks
Valime kahetahulise nurga serval A D suvalise punkti C ja joonestame seda läbi servaga AP risti oleva tasapinna α. Tasapind α lõikab kahetahulise nurga tahkusid mööda kiiri a ja b, mis moodustavad teatud nurga suurusjärk φ. Seda nurka nimetatakse lineaarseks kahetahuliseks nurgaks
Kui kaks tasapinda lõikuvad, moodustub neli kahetahulist nurka. Nendest kahetahulistest nurkadest väiksema suurust nimetatakse nende tasandite vaheliseks nurgaks.
Kui tasapinnad on paralleelsed, on nendevaheline nurk definitsiooni järgi 0°. Kui φ on nurk kahe tasandi vahel, siis 0°
Ülesanne Leia kuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tasapindade BC 1 D ja BA 1 D vaheline nurk. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
Ülesanne antud: kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Leia: tasapindade vaheline nurk BC 1 D ja BA 1 D Lahendus: A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O ∆ BDA 1 ja ∆ DC 1 B – võrdsed võrdkülgsed AO ja C 1 O on risti DB =» A 1 O C 1 soovitud C 1 O on ruudu diagonaal, mille külg on 1.
http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t = 320
Teemal: metoodilised arendused, ettekanded ja märkmed
Üks stereomeetria põhiteemasid on teema “Diheedrinurgad”. Hoolimata asjaolust, et õpilased õpivad kergesti selgeks kahetahulise nurga ja selle lineaarnurga mõisted, tekivad lahendamisel palju raskusi...
Kahenurkne nurk on kujund, mille moodustab sirgjoon. a ja kaks pooltasapinda ühise piiriga a , mis ei kuulu samale tasapinnale.
Otse a – kahetahuline serv
a
Igapäevaelus kohtame sageli objekte, millel on kahetahulise nurga kuju. Sellisteks objektideks on hoonete viilkatused, poolavatud raamat, toa sein koos põrandaga jne.
Kaks pooltasapinda - kahetahulise nurga tahud
Lineaarnurga konstrueerimise algoritm.
Nurk ROK – kahetahulise nurga P DE K lineaarnurk.
Dihedraalnurga kraadimõõt on selle lineaarnurga kraadimõõt.
Kolm- ja mitmetahulised nurgad
Tutvustada kolme- ja mitmetahulise nurga definitsiooni;
Õppige tundma erinevaid hulktahuliste nurkade tüüpe;
Uurige hulktahuliste nurkade omadusi ja õppige neid ülesannete lahendamisel rakendama.
POLÜKEEDNURgad
Pind, mille moodustab tasapinnaliste nurkade lõplik hulk A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 ühise ülaosaga S, milles naabernurkadel ei ole ühiseid punkte, välja arvatud ühise kiire punktid, ja mitte-naabernurkadel pole ühiseid punkte, välja arvatud ühine tipp, nimetatakse hulktahuliseks pinnaks.
Figuuri, mille moodustavad määratud pind ja üks kahest sellega piiratud ruumiosast, nimetatakse hulktahukaks nurgaks. Ühine top S nimetatakse hulktahuka nurga tipuks. Kiired S.A. 1 , …, S.A. n nimetatakse hulktahuka nurga servadeks ja tasapinna nurkadeks endiks A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 – hulktahuka nurga tahud. Mitmetahulist nurka tähistavad tähed S.A. 1 … A n, mis näitab tippu ja punkte selle servadel.
POLÜKEEDNURgad
Sõltuvalt tahkude arvust on hulktahulised nurgad kolmnurksed, tetraeedrilised, viisnurksed jne.
KOLMEED NURgad
Teoreem. Kolmnurkse nurga iga tasapinnaline nurk on väiksem kui selle kahe teise tasapinna nurga summa.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
KOLMEED NURgad
Koos varaga. Kolmnurkse nurga tasapinna nurkade summa on väiksem kui 360.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
KUMERAD POLÜKEEDNURgad
Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see on kumer kujund, st koos mis tahes kahe punktiga sisaldab see täielikult neid ühendavat lõiku. Joonisel on kujutatud kumerate ja mittekumerate hulktahuliste nurkade näiteid.
Kinnisvara. Kumera hulktahuka nurga kõigi tasapindade nurkade summa on väiksem kui 360°.
Vertikaalsed hulktahulised nurgad
Joonistel on näited kolmnurksetest, tetraeedrilistest ja viisnurksetest vertikaalnurkadest
Teoreem. Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Mitmetahuliste nurkade mõõtmine
Kuna arenenud kahetahulise nurga kraadi väärtust mõõdetakse vastava lineaarnurga kraadiväärtusega ja see on võrdne 180 °, siis eeldame, et kogu ruumi kraadiväärtus, mis koosneb kahest arenenud kahetahulisest nurgast, on võrdne 360 °. Mitmetahulise nurga suurus, väljendatuna kraadides, näitab, kui palju ruumi antud hulktahukas nurk hõivab. Näiteks kuubi kolmnurkne nurk hõivab ühe kaheksandiku ruumist ja seetõttu on selle kraadiväärtus 360 o: 8 = 45 o. Kolmnurkne nurk õiges kohas n-gonaalprisma on võrdne poolega külgserva kahetahulisest nurgast. Arvestades, et see kahetahuline nurk on võrdne, saame, et prisma kolmnurkne nurk on võrdne.
1. harjutus
Kas võib olla lamenurkadega kolmnurkne nurk: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Pole vastust;
2. harjutus
Too näiteid hulktahukatest, mille tipud ristuvad tahud moodustavad ainult: a) kolmnurksed nurgad; b) tetraeedrilised nurgad; c) viisnurksed nurgad.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: a) Tetraeeder, kuup, dodekaeeder;
b) oktaeeder;
c) ikosaeeder.
3. harjutus
Kolmnurkse nurga kaks tasapinda on 70° ja 80°. Millised on kolmanda tasapinna nurga piirid?
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: 10 o 
1. Joonisel on kujutatud hulktahukas, kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on täisnurgad. Leia tippude A ja C2 vaheline kaugus
Vaatleme Pythagorase teoreemi kohaselt täisnurkset kolmnurka
3. Leidke joonisel kujutatud hulktahuka nurk CAD2. Kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on täisnurgad. Esitage oma vastus kraadides.
Vaatleme kolmnurka CAD2, kus AC = CD2 = AD2, kuna need on võrdsete ruutude diagonaalid, mistõttu kolmnurk CAD2 on võrdkülgne, seega kõik selle nurgad on 60°.
4. Leidke joonisel kujutatud hulktahuka nurk ABD. Kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on täisnurgad. Esitage oma vastus kraadides.
Pange tähele, et ABCD on ruut küljega 2 ja BD on selle diagonaal.See tähendab, et kolmnurk ABD on täisnurkne ja võrdhaarne, AB=AD. Nurk ABD on 45°.
5. Joonisel on hulktahukas, kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on täisnurgad. Leidke tippude B2 ja D3 vahelise kauguse ruut.
6. Joonisel on hulktahukas, kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on täisnurgad. Leia tippude A ja C3 vahelise kauguse ruut.
7. Leia joonisel kujutatud hulktahuka nurk EAD2. Kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on täisnurgad. Esitage oma vastus kraadides.
5. harjutus
Kolmnurkse nurga korral on kaks tasapinna nurka võrdsed 45°; nendevaheline kahetahuline nurk on õige. Leidke kolmas tasapinna nurk.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: 6 0 o.
6. harjutus
Kolmnurkse nurga tasapinna nurgad on 60°, 60° ja 90°. Selle servadele asetatakse tipust lähtudes võrdsed segmendid O.A. , O.B. , O.C. . Leidke kahetahuline nurk 90° nurga tasandi ja tasandi vahel ABC .
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: 9 0 o.
7. harjutus
Kolmnurkse nurga iga tasapinna nurk on 60°. Selle ühele servale eraldatakse ülaosast 3 cm pikkune segment ja selle otsast langetatakse risti vastasküljele. Leidke selle risti pikkus.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: vt
Harjutus 8
Leidke kolmnurkse nurga sisepunktide asukoht, mis on selle tahkudest võrdsel kaugusel.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: Kiir, mille tipp on kolmnurkse nurga tipp, mis asub kahetahulisi nurki pooleks jagavate tasandite lõikejoonel.
9. harjutus
Leidke kolmnurkse nurga sisepunktide asukoht selle servadest võrdsel kaugusel.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: Kiir, mille tipp on kolmnurkse nurga tipp, mis asub tasapinnanurkade poolitajaid läbivate ja nende nurkade tasanditega risti olevate tasandite lõikejoonel.
10. harjutus
Leidke tetraeedri kolmnurksete nurkade ligikaudsed väärtused.
Tetraeedri kahetahuliste nurkade jaoks on meil:
Kust tuleb 70 umbes 30?
Tetraeedri kolmnurksete nurkade jaoks on meil:
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: 15 umbes 45".
11. harjutus
Leidke oktaeedri tetraeedriliste nurkade ligikaudsed väärtused.
Oktaeedri kahetahuliste nurkade jaoks on meil:
Kust 109 või 30 tuleb?
Oktaeedri tetraeedriliste nurkade jaoks on meil:
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: 38 umbes 56".
12. harjutus
Leidke ikosaeedri viieeedriliste nurkade ligikaudsed väärtused.
Ikosaeedri kahetahuliste nurkade jaoks on meil:
Kus on 138 umbes 11".
Ikosaeedri viiseedriliste nurkade jaoks on meil:
Vastus: 75 umbes 28".
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Harjutus 13
Leidke dodekaeedri kolmnurksete nurkade ligikaudsed väärtused.
Dodekaeedri kahetahuliste nurkade jaoks on meil:
Kus on 116 umbes 3 4".
Dodekaeedri kolmnurksete nurkade jaoks on meil:
Vastus: 84 umbes 51 ".
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Harjutus 14
Korrapärases nelinurkses püramiidis SABCD aluse külg on 2 cm, kõrgus 1 cm Leia selle püramiidi tipust neljatahuline nurk.
Lahendus: näidatud püramiidid jagavad kuubi kuueks võrdseks püramiidiks, mille tipud on kuubi keskel. Järelikult on 4-tahuline nurk püramiidi tipus üks kuuendik 360-kraadisest nurgast, s.o. võrdne 60 o.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: 60 o.
Harjutus 15
Tavalise kolmnurkse püramiidi korral on külgservad võrdsed 1-ga, nurgad tipus on 90 kraadi. Leidke kolmnurkne nurk selle püramiidi tipus.
Lahendus: näidatud püramiidid jagasid oktaeedri kaheksaks võrdseks püramiidiks, mille tipud on keskel O oktaeeder. Järelikult on 3-tahuline nurk püramiidi tipus üks kaheksandik 360-kraadisest nurgast, s.o. võrdne 45 o.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
Vastus: 45 o.
Harjutus 16
Tavalise kolmnurkse püramiidi külgservad on võrdsed 1-ga ja kõrgus Leia kolmnurkne nurk selle püramiidi tipus.
Lahendus: näidatud püramiidid jagasid korrapärase tetraeedri neljaks võrdseks püramiidiks, mille keskel asuvad tipud O tetraeeder. Järelikult on püramiidi tipus olev 3-tahuline nurk üks neljandik 360-kraadisest nurgast, st. võrdne 90 o.
Slaidirežiimis kuvatakse vastus pärast hiireklõpsu.
