Головна » Будинок та ділянка » Як знайти квадратний корінь числа вручну. Квадратний корінь. Докладна теорія з прикладами Скільки буде корінь зі 100

Як знайти квадратний корінь числа вручну. Квадратний корінь. Докладна теорія з прикладами Скільки буде корінь зі 100

Завдання знаходження кореня в математиці є оберненим завданням зведення числа в ступінь. Коріння бувають різні: коріння другого ступеня, коріння третього ступеня, коріння четвертого ступеня і таке інше. Це залежить від того, в яку міру спочатку було зведено число. Корінь позначається символом: - це квадратний корінь, тобто корінь з другого ступеня, якщо у кореня ступінь більший, ніж другий, то над знаком кореня приписується відповідний ступінь. Число, що знаходиться під знаком кореня - це підкорене вираз. При знаходженні кореня існує кілька правил, які допоможуть не помилитись у знаходженні кореня:

Корінь парного ступеня (якщо ступінь дорівнює 2, 4, 6, 8 тощо) з негативного числа НЕ існує. Якщо підкорене вираз негативно, але шукається корінь непарного ступеня (3, 5, 7 тощо), результат буде негативним.
Корінь будь-якого ступеня від одиниці завжди одиниця: √1 = 1.
Корінь нуля є нуль: √0 = 0.

Як знайти корінь із числа 100

Якщо задачі не написано, корінь якого ступеня необхідно знайти, то зазвичай мається на увазі, що необхідно знайти корінь другого ступеня (квадратний).
Знайдемо √100 =? Нам необхідно знайти таке число, при зведенні якого на другий ступінь, вийде число 100. Очевидно, що таким числом є число 10, тому що: 10 2 = 100. Отже, √100 = 10: квадратний корінь зі 100 дорівнює 10.

"Торгівельна" революція
Комків Сергій 26.12.2012

На тлі вступу Росії до СОТ, що тільки що відбувся, знищення РГТЕУ - провідного російського вишу в системі торгових (і, насамперед, зовнішньоторговельних) відносин, а також звільнення його ректора, відомого політика Сергія Бабуріна виглядають не просто як дурість. Все це дуже схоже на наперед сплановану провокацію.

Схоже, Світова Торгова Організація і, головним чином, США, які відіграють у ній ключову роль, виявилися не на жарт стурбовані можливими наслідками вступу до цієї організації Росії.

Але тут вони вчасно згадали про те, що в Росії вже давно та успішно діє вирощена та вигодувана ними організація – Вища Школа Економіки. Саме її було створено 1992-го року на гроші Світового Банку з метою знищення в нашій країні всього інтелектуального потенціалу нації. Саме під її керівництвом сьогодні діє головний колективний «агент впливу» у цій сфері – Міністерство освіти та науки Росії.

Можна багато й нескінченно говорити про дурість і некомпетентність новоявленого міністра – пана Ліванова, який важко розрізняє види та напрями освіти. Але сам собою пан Ліванов – абсолютний нуль без палички. З вуст якого при кожному їх відкритті неодмінно вискакує якась чергова нісенітниця. За його спиною маячать колоритніші постаті. Наприклад, головного «ідеолога» всіх економічних перетворень у нашій країні громадянина США Євгена Ясіна та його підручного – ректора «Вишки» Ярослава Кузьмінова.

Саме вони з подачі американських радників зі Світового Банку, які активно працюють на базі ВШЕ, сформулювали критерії так званого «моніторингу» російських вишів.

І вже ні для кого не секрет, що, відповідно до даних «критерій», у розряд «неефективних» потрапили найбільш значні російські вищі навчальні заклади. ВНЗ з багатою історією та традиціями, що мають величезний творчий потенціал. Наприклад, МАРХІ, РДГУ, Літературний інститут.

Потрапив до цієї категорії і Російський Державний Торгово-Економічний університет – РДТЕУ. Хоча за багатьма своїми показниками цей виш може дати сто очок фори тій самій «Плешке», до якої його так раптово вирішили приєднати. І насамперед у питаннях підготовки фахівців для системи зовнішньої торгівлі.

РДТЕУ не просто має величезні міжнародні зв'язки. У ньому досконально вивчаються особливості торгового розвитку розвинених країн. У стінах цього вишу постійно виступають провідні економічні та політичні діячі світу, посли іноземних держав. Почесними лікарями цього вишу є провідні світові лідери. Наприклад, Фідель Кастро та Уго Чавес.

А це, як відомо, «закляті друзі» Америки. От і пішли в хід інструменти знищення такого небезпечного навчального закладу. Щоб Росія, не дай Боже, не звернула з «справжнього шляху» і не зрадила інтересів американських замовників.

Та й особистість самого ректора – відомого в Росії та далеко за її межами політика та вченого – постала у наших американських дядечків як кістка у горлі.

Сергій Бабурін був не просто одним із лідерів парламентської опозиції, займаючи у попередньому складі Державної Думи Росії місце віце-спікера. Він був активним прихильником нової політики Росії по всьому пострадянському просторі. Саме він у 2006-му році найактивніше допомагав народу Абхазії вийти з глибокої політичної кризи. До якого, до речі, його увігнали знову ті самі тупі й слухняні волі американських радників чиновники уряду та адміністрації президента Росії.

Завдяки зусиллям Сергія Бабуріна верх в Абхазії тоді взяли прогресивні сили на чолі із Сергієм Багапшем. І з 2008 року Абхазія стала головним стратегічним партнером Росії на Північному Кавказі.

Подібна позиція є виразом здорового, виваженого патріотизму. Тому протягом кількох років Бабурін очолює Російський Європейський Союз і є організатором щорічних традиційних Російських Маршів. Не тих, що зі свастикою та фашистськими гаслами «Росія тільки для росіян!» А цілком зрозумілих для всього населення країни виступів із вимогами дотримуватись російських національних інтересів у питаннях зовнішньої політики та виконувати соціальні обіцянки, дані своєму власному народу.

Але саме це не подобається американським поплічникам, які окопалися в кабінетах російського уряду. Тому що для них вимога дотримання наших національних інтересів як ніж до серця.

Ось і спало комусь на думку одним ударом вбити відразу двох зайців: і вуз, який готує фахівців для успішної зовнішньої торгівлі Росії, та її патріотично налаштованого ректора.

Зазвичай для таких дій найбільше підходять дурні. Бо їм, як відомо, не відомо, що вони насправді творять. Але в даному конкретному випадку може вийти дуже серйозний промах, що загрожує важкими соціальними наслідками для всієї країни.

Наші чиновники, що зажерлися на казенних харчах і вважають себе цілком правими в будь-якій неправедній справі, забули найпростішу істину: вони не владні над юнацькими душами та юнацькими поривами.

Саме подібні пориви сміли наприкінці 60-х років минулого століття уряд генерала Де Голля у Франції. Там теж починалося все з, здавалося б, зовні невинних речей. А закінчилося загальним хаосом, заворушеннями, палаючими автомобілями та офісами.

Молодь (особливо організована студентська молодь) – це не купка збанкрутілих політиків-опозиціонерів, які побували у владі і, тому, на неї дуже скривджених. Студентська молодь завжди і за всіх часів була однією з головних рушійних сил революції. І сьогоднішня молодь не є винятком із правил. Скоріше навпаки. Саме сьогоднішня молодь, що особливо гостро сприймає соціальну несправедливість і нерівність, що виникла в суспільстві, здатна на найкрутіші і найрадикальніші кроки. І, якщо влада спробує застосувати чинність, це буде для неї вбивчо. Тому що молодь ніколи їй цього не вибачить.

Коли пан Ліванов та Ко оголосили про свій намір силовим методом розпочати вирішення проблеми вищої освіти, закриваючи та зливаючи виші, вони фактично підписали собі вирок. Вони навіть не спромоглися задуматися над тим, які глибинні сили вони піднімають. І це скінчиться трагічно не лише для тих, хто сьогодні опинився на керівних посадах у Міністерстві освіти та науки, а й для всього російського керівництва загалом. Бо навіть пригнічений локально молодіжний бунт не йде в небуття. Він зріє із новою силою. Але де і коли він вдарить, вже не зможе передбачити ніхто.

Тож події в РДТЕУ лише на перший погляд виглядають як «торговельна революція». Насправді вони провісники іншої – жорсткішої та кривавішої соціальної війни, переможців у якій не буде.

Той, хто програв, відомий заздалегідь. Це наша Батьківщина. Країна, яку ми поки що іноді з деякою гордістю називаємо Росією.

Тому сьогоднішні дії керівництва Міносвіти щодо окремо взятого навчального закладу та щодо окремо взятого ректора можна розцінювати як розпалювання соціальної війни в ім'я та на благо іншої держави.

А це називається: Національна Зрада.

Сьогодні ми з вами розберемося на цій сторінці нашого сайту сайт про те, квадратний корінь зі 100 скільки буде. Давайте разом з вами розберемося скільки буде квадратний корінь зі 100, тому що над цією темою багато десятиліть ламали свої уми 1000 наукових співробітників і багато хто прийшов без поворотного висновку за розрахунками, що такого кореня взагалі не існує і його просто неможливо вирахувати. Також дуже важливо в даному випадку поставити саме правильне питання щодо виявлення квадратного кореня зі 100. Якщо бути точним, то ми будемо вираховувати арифметичний корінь квадрата зі 100 так як у звичайному квадратному корені зі 100 у результаті у нас буде виходити два числа: 10 і - 10.

Суму потрібних нам цих чисел ми можемо вважати простим арифметичним прийомом за допомогою вертикальної, звичною рисою, цифри та коріння, які прописуються праворуч внизу. Там ми знаходитимемо потрібний нам квадрат одиниць кореня, потім множимо десятки і знаходимо подвоєний а не потроєний твір десятка будь-якого кореня на одиниці. Деякі цифри нам доведеться зводити в квадрат, щоб у сумі вийшло двозначне число, якщо в результаті у нас вийшло число 10, то ми все зробили з вами правильно. Головне спочатку перед початком розрахунків хоча б трохи потоваришувати з математикою та з математичною прогресією складання квадратного кореня.

Запам'ятайте одне єдине і основне правило: щоб нам витягти потрібний квадратний корінь з будь-якого цілого числа, в першу чергу витягуємо будь-який потрібний нам корінь з числа його сум і сотень. Якщо число дорівнює або більше 100, тоді ми починаємо шукати корінь із сотень фактичних чисел цих даних сотень, потім із десятків тисяч фактичного числа, тим більше якщо дане число набагато більше ніж 100, потім вже в обов'язковому порядку витягуємо корінь числа із сотень десятків тисяч або якщо бути точніше: із мільйона цього числа. На цю тему є багато правил та різноманітних наукових рекомендацій, шкільних програм із вилучення квадратного кореня з числа 100 буде завжди незмінним.

Якщо розглядати прогрес знаходження кореня з числа 100, нам треба звернути увагу, що в корені знаходиться стільки ж цифр, скільки і під кінцевим числом граней, при цьому ліва грань може складатися лише з однієї цифри. Виходячи з усього цього, найточнішим на планеті земля квадратним коренем з будь-якого числа, називатиметься така сума чисел, квадрат якого точно при підрахунках дорівнює цьому числу. Саме на цьому ми можемо закінчити свій короткий курс з обчислення квадратного кореня зі 100 який дорівнюватиме (10) десяти.

Константинова Віра

Як знайти корінь числа

Завдання знаходження кореня в математиці є оберненим завданням зведення числа в ступінь. Коріння бувають різні: коріння другого ступеня, коріння третього ступеня, коріння четвертого ступеня і таке інше. Це залежить від того, в яку міру спочатку було зведено число. Корінь позначається символом: √ – це квадратний корінь, тобто корінь з другого ступеня, якщо у кореня ступінь більший, ніж другий, то над знаком кореня приписується відповідний ступінь. Число, яке знаходиться під знаком кореня - це підкорене вираз. При знаходженні кореня існує кілька правил, які допоможуть не помилитись у знаходженні кореня:

Корінь парного ступеня (якщо ступінь дорівнює 2, 4, 6, 8 тощо) з негативного числа НЕ існує. Якщо підкорене вираз негативно, але шукається корінь непарного ступеня (3, 5, 7 тощо), результат буде негативним.
Корінь будь-якого ступеня від одиниці завжди одиниця: √1 = 1.
Корінь нуля є нуль: √0 = 0.

Як знайти корінь із числа 100

Що таке квадратний корінь?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Це поняття дуже просте. Звичайно, я б сказав. Математики на кожну дію намагаються знайти протидію. Є додавання - є і віднімання. Є множення – є й поділ. Є зведення в квадрат... Значить, є і вилучення квадратного кореня!От і все. Це дія ( вилучення квадратного кореня) в математиці позначається таким значком:

Сам значок називається красивим словом. радикал".

Як отримати корінь?Це краще розглянути на прикладах.

Скільки буде квадратний корінь із 9? А яке число у квадраті дасть нам 9? 3 у квадраті дасть нам 9! Тобто:

А ось скільки буде квадратний корінь із нуля? Не питання! Яке число у квадраті нуль дає? Та сам нуль і дає! Значить:

Вловили, Що таке квадратний корінь?Тоді вважаємо приклади:

Відповіді (безладно): 6; 1; 4; 9; 5.

Вирішили? Справді, куди простіше?!

Але... Що робить людина, коли бачить якесь завдання з корінням?

Сумувати починає людина... Не вірить він у простоту та легкість коріння. Хоча, начебто, і знає, що таке квадратний корінь...

Все тому, що людина проігнорувала кілька важливих пунктиків щодо коріння. Потім ці пунктики жорстоко мстять на контрольних та іспитах.

Пунктик перший. Коріння треба пізнавати в обличчя!

Скільки буде корінь квадратний із 49? Сім? Правильно! А як ви дізналися, що сім? Звели сімку у квадрат і отримали 49? Правильно! Зверніть увагу, щоб витягти коріньз 49 нам довелося виконати зворотну операцію - звести 7 у квадрат! І переконатися, що ми не схибили. А могли й схибити...

У цьому є складність вилучення коренів. Звести у квадратможна будь-яке число без особливих проблем. Помножити число саме собою стовпчиком - та й усі справи. А ось для вилучення коренятакої простої та безвідмовної технології немає. Доводиться підбиративідповідь та перевіряти його на влучення зведенням у квадрат.

Цей складний творчий процес - підбір відповіді - спрощується, якщо ви пам'ятайтеквадрати найпопулярніших чисел. Як таблицю множення. Якщо, скажімо, треба помножити 4 на 6 – ви ж не складаєте четвірку 6 разів? Відразу випливає відповідь 24. Хоча, не у всіх він випливає, так...

Для вільної та успішної роботи з корінням достатньо знати квадрати чисел від 1 до 20. Причому тудиі назад.Тобто. ви повинні легко називати як, скажімо, 11 у квадраті, так і корінь квадратний із 121. Щоб досягти такого запам'ятовування, є два шляхи. Перший – вивчити таблицю квадратів. Це чудово допоможе вирішувати приклади. Другий - вирішувати більше прикладів. Це чудово допоможе запам'ятати таблицю квадратів.

І жодних калькуляторів! Лише для перевірки. Інакше на іспиті гальмуватимете нещадно...

Отже, що таке квадратний коріньі як видобувати коріння- гадаю, зрозуміло. Тепер з'ясуємо З ЧОГО можна їх витягувати.

Пунктик другий. Корінь, я тебе не знаю!

З яких чисел можна добувати квадратне коріння? Та майже з будь-яких. Простіше зрозуміти, з чого не можнаїх витягувати.

Спробуємо обчислити такий корінь:

Для цього потрібно підібрати число, яке у квадраті дасть нам -4. Підбираємо.

Що, не підбирається? 2 2 дає +4. (-2) 2 дає знову +4! Ось-ось... Немає таких чисел, які при зведенні в квадрат дадуть нам негативне число! Хоча я такі цифри знаю. Але вам не скажу. Вступіть до інституту - самі дізнаєтесь.

Така сама історія буде з будь-яким негативним числом. Звідси висновок:

Вираз, у якому під знаком квадратного кореня стоїть негативне число - не має сенсу! Це заборонена операція. Така ж заборонена, як і поділ на нуль. Запам'ятайте цей факт залізно!Або, іншими словами:

Квадратне коріння з негативних чисел витягти не можна!

Зате з решти - можна. Наприклад, цілком можна обчислити

На перший погляд, це дуже складно. Підбирати дроби та в квадрат зводити... Не хвилюйтеся. Коли розберемося з властивостями коренів, такі приклади будуть зводитися до тієї ж таблиці квадратів. Життя стане простіше!

Ну гаразд дробу. Але нам ще трапляються вирази типу:

Нічого страшного. Все теж саме. Корінь квадратний із двох – це число, яке при зведенні у квадрат дасть нам двійку. Тільки число це зовсім нерівне... Ось воно:

Що цікаво, цей дріб не закінчується ніколи... Такі числа називаються ірраціональними. У квадратному корінні це - звичайнісінька справа. До речі, саме тому вирази з корінням називають ірраціональними. Зрозуміло, що писати весь час такий нескінченний дріб незручно. Тому замість нескінченного дробу так і залишають:

Якщо при вирішенні прикладу у вас вийшло щось невилучне, типу:

то так і залишаємо. Це буде відповідь.

Потрібно чітко розуміти, що під значками

Звичайно, якщо корінь із числа витягується рівно, Ви повинні це зробити. Відповідь завдання у вигляді, наприклад

цілком собі повноцінна відповідь.

І, звичайно, треба знати на згадку приблизні значення:

Це знання дуже допомагає оцінити ситуацію в складних завданнях.

Пунктик третій. Найхитріший.

Основну плутанину в роботу з корінням вносить саме цей пункт. Саме він надає невпевненості у власних силах... Розберемося з цим пунктом як слід!

Для початку знову витягнемо квадратний корінь їх чотирьох. Що, вже дістав я вас із цим корінням?) Нічого, зараз цікаво буде!

Яке число дасть у квадраті 4? Ну два, два - чую незадоволені відповіді...

Правильно. Два. Але ж і мінус двадасть у квадраті 4... А тим часом, відповідь

правильна, а відповідь

груба помилка. Ось так.

Так у чому ж справа?

Дійсно, (-2) 2 = 4. І під визначення кореня квадратного із чотирьох мінус двацілком підходить... Це теж корінь квадратний із чотирьох.

Але! У шкільному курсі математики прийнято вважати за квадратне коріння лише невід'ємні числа!Тобто нуль і всі позитивні. Навіть термін спеціальний придуманий: з числа а- це невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює а. Негативні результати при отриманні квадратного арифметичного кореня просто відкидаються. У школі все квадратне коріння - арифметичні. Хоча особливо про це не згадується.

Ну гаразд, це зрозуміло. Це навіть краще - не возитися з негативними результатами... Це ще не плутанина.

Плутанина починається при розв'язанні квадратних рівнянь. Наприклад, треба вирішити таке рівняння.

Рівняння просте, пишемо відповідь (як вчили):

Така відповідь (цілком правильна, до речі) - це просто скорочений запис двохвідповідей:

Стоп-стоп! Трохи вище я написав, що квадратний корінь – число завждиневід'ємний! А тут одна з відповідей - негативний! Непорядок. Це перша (але не остання) проблемка, яка викликає недовіру до коріння... Розв'яжемо цю проблемку. Запишемо відповіді (чисто для розуміння!) ось так:

Дужки суті відповіді не змінюють. Просто я відокремив дужками знакивід кореня. Тепер видно, що сам корінь (у дужках) - число все одно невід'ємне! А знаки – це результат вирішення рівняння. Адже при вирішенні будь-якого рівняння ми маємо записати Усеікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. У наше рівняння підходить корінь із п'яти (позитивний!) як із плюсом, так і з мінусом.

Ось так. Якщо ви просто витягуєте квадратний коріньз чогось, ви завждиотримуєте один невід'ємнийрезультат. Наприклад:

Бо це - арифметичний квадратний корінь.

Але якщо ви вирішуєте якесь квадратне рівняння, типу:

то завждивиходить двавідповіді (з плюсом та мінусом):

Тому що це – рішення рівняння.

Сподіваюся, що таке квадратний коріньзі своїми пунктиками ви зрозуміли. Тепер залишилося дізнатися, що можна робити з корінням, які їх властивості. І які там пунктики та підводні кор... вибачте, каміння!)

Все це – у наступних уроках.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

При вирішенні різних завдань з курсу математики та фізики учні та студенти часто стикаються з необхідністю вилучення коренів другого, третього чи n-го ступеня. Звичайно, у вік інформаційних технологій не важко буде вирішити таке завдання за допомогою калькулятора. Однак виникають ситуації, коли скористатися електронним помічником неможливо.

Наприклад, багато іспити заборонено приносити електроніку. Крім того, калькулятор може не опинитися під рукою. У разі корисно знати хоча б деякі методи обчислення радикалів вручну.

Вилучення квадратного кореня за допомогою таблиці квадратів

Один з найпростіших способів обчислення коренів полягає в використання спеціальної таблиці. Що ж вона є і як їй правильно скористатися?

За допомогою таблиці можна знайти квадрат будь-якого числа від 10 до 99. При цьому в рядках таблиці є значення десятків, у стовпах - значення одиниць. Осередок на перетині рядка і стовпця містить у собі квадрат двозначного числа. Для того, щоб обчислити квадрат 63, потрібно знайти рядок зі значенням 6 і стовпець зі значенням 3. На перетині виявимо комірку з числом 3969.

Оскільки вилучення кореня - це операція, зворотна зведенню квадрат, для виконання цієї дії необхідно поступити навпаки: спочатку знайти осередок з числом, радикал якого потрібно порахувати, потім за значеннями стовпчика і рядки визначити відповідь. Як приклад розглянемо обчислення квадратного кореня 169.

Знаходимо комірку з цим числом у таблиці, по горизонталі визначаємо десятки – 1, по вертикалі знаходимо одиниці – 3. Відповідь: √169 = 13.

Аналогічно можна обчислювати коріння кубічного та n-го ступеня, використовуючи відповідні таблиці.

Перевагою способу є його простота та відсутність додаткових обчислень. Недоліки ж очевидні: метод можна використовувати лише обмеженого діапазону чисел (число, котрим перебуває корінь, має бути у проміжку від 100 до 9801). Крім того, він не підійде, якщо заданого числа немає в таблиці.

Розкладання на прості множники

Якщо таблиця квадратів відсутня під рукою або з її допомогою неможливо знайти корінь, можна спробувати розкласти число, що знаходиться під коренем, на прості множники. Прості множники - це такі, які можуть націло (без залишку) ділитися тільки на себе чи одиницю. Прикладами можуть бути 2, 3, 5, 7, 11, 13 і т.д.

Розглянемо обчислення кореня з прикладу √576. Розкладемо його на прості множники. Отримаємо наступний результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². За допомогою основної властивості коренів √a² = a позбавимося коренів і квадратів, після чого підрахуємо відповідь: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Що ж робити, якщо у якогось із множників немає своєї пари? Наприклад розглянемо обчислення √54. Після розкладання на множники отримуємо результат у наступному вигляді: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Невитягувану частину можна залишити під коренем. Для більшості завдань з геометрії та алгебри така відповідь буде зарахована як остаточна. Але якщо необхідно обчислити наближені значення, можна використовувати методи, які будуть розглянуті далі.

Метод Герона

Як вчинити, коли необхідно хоча б приблизно знати, чому дорівнює витягнуте коріння (якщо неможливо отримати ціле значення)? Швидкий та досить точний результат дає застосування методу Герона. Його суть полягає у використанні наближеної формули:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

де R – число, корінь якого потрібно обчислити, a – найближче число, значення кореня якого відомо.

Розглянемо, як працює метод на практиці, та оцінимо, наскільки він точний. Розрахуємо, до чого дорівнює √111. Найближче до 111 число, корінь якого відомий - 121. Таким чином, R = 111, a = 121. Підставимо значення у формулу:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Тепер перевіримо точність методу:

10,55 ² = 111,3025.

Похибка методу становила приблизно 0,3. Якщо точність методу необхідно підвищити, можна повторити описані раніше дії:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Перевіримо точність розрахунку:

10,536 ² = 111,0073.

Після повторного застосування формули похибка стала незначною.

Обчислення кореня розподілом у стовпчик

Цей спосіб знаходження значення квадратного кореня є більш складним, ніж попередні. Однак він є найточнішим серед інших методів обчислення без калькулятора.

Допустимо, що необхідно знайти квадратний корінь з точністю до 4 знаків після коми. Розберемо алгоритм обчислень з прикладу довільного числа 1308,1912.

Розділимо аркуш паперу на 2 частини вертикальною межею, а потім проведемо від неї ще одну межу праворуч, трохи нижче верхнього краю. Запишемо число в лівій частині, розділивши його на групи по 2 цифри, рухаючись у праву та ліву сторону від коми. Найперша цифра зліва може бути без пари. Якщо ж знака не вистачає в правій частині числа, слід дописати 0. У нашому випадку вийде 13 08,19 12.
Підберемо найбільше число, квадрат якого буде меншим або дорівнює першій групі цифр. 3. Запишемо його праворуч зверху; 3 – перша цифра результату. Праворуч знизу вкажемо 3×3 = 9; це знадобиться для наступних розрахунків. З 13 стовпчик віднімемо 9, отримаємо залишок 4.
Припишемо наступну пару чисел до залишку 4; отримаємо 408.
Число, що знаходиться зверху праворуч, помножимо на 2 і запишемо знизу праворуч, додавши до нього _ x _ =. Отримаємо 6_ х _ =.
Замість прочерків потрібно підставити одне й те число, менше чи рівне 408. Отримаємо 66×6 = 396. Напишемо 6 справа зверху, т. до. це друга цифра результату. Заберемо 396 від 408, отримаємо 12.
Повторимо кроки 3-6. Оскільки знесені донизу цифри перебувають у дробовій частині числа, необхідно поставити десяткову кому праворуч зверху після 6. Запишемо подвоєний результат із прочерками: 72_ x _ =. Відповідною цифрою буде 1: 721×1 = 721. Запишемо її у відповідь. Виконаємо віднімання 1219 – 721 = 498.
Виконаємо наведену в попередньому пункті послідовність дій ще тричі, щоб отримати необхідну кількість знаків після коми. Якщо не вистачає знаків для подальших обчислень, у поточного зліва числа потрібно дописати два нулі.

В результаті ми отримаємо відповідь: √1308,1912 ≈ 36,1689. Якщо перевірити дію за допомогою калькулятора, можна переконатись, що всі знаки були визначені правильно.

Порозрядне обчислення значення квадратного кореня

Метод має високу точність. Крім того, він досить зрозумілий і для нього не потрібно запам'ятовувати формули або складний алгоритм дій, оскільки суть способу полягає у підборі правильного результату.

Виймемо корінь у складі 781. Розглянемо докладно послідовність дій.

З'ясуємо, який розряд значення квадратного кореня буде старшим. Для цього зведемо в квадрат 0, 10, 100, 1000 і т. д. і з'ясуємо, між якими знаходиться підкорене число. Ми отримаємо, що 10 ²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Підберемо значення десятків. Для цього будемо по черзі зводити в ступінь 10, 20, ..., 90, поки не отримаємо число, що перевищує 781. Для нашого випадку отримаємо 10 ² = 100, 20 ² = 400, 30 ² = 900. Значення результату n буде в межах 20< n <30.
Аналогічно попередньому кроці підбирається значення розряду одиниць. По черзі зведемо в квадрат 21,22, …, 29: 21 ² = 441, 22 ² = 484, 23 ² = 529, 24 ² = 576, 25 ² = 625, 26 ² = 676, 27 ² = 729, 8 22.< n < 28.
Кожен наступний розряд (десяті, соті тощо. буд.) обчислюється як і, як було показано вище. Розрахунки проводяться до тих пір, поки не буде досягнуто необхідної точності.