Kënde trekëndore. Prezantimi "Këndi poliedrik" Kënde shumëkëndëshe vertikale
1 rrëshqitje
KËNDËT KONVEKS SHUMËKËDOR Një kënd shumëkëndor quhet konveks nëse është një figurë konvekse, domethënë, së bashku me çdo dy nga pikat e tij, ai përmban tërësisht segmentin që i lidh ato. Figura tregon shembuj të këndeve poliedrike konvekse dhe jokonvekse. Teorema. Shuma e të gjitha këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është më pak se 360°.
2 rrëshqitje
SHUMËHEDET KONVEKS Një kënd shumëkëndësh quhet konveks nëse është një figurë konvekse, d.m.th., së bashku me çdo dy nga pikat e tij, ai përmban tërësisht segmentin që i lidh ato. Figura tregon shembuj të një piramide konvekse dhe jokonvekse. Kubi, paralelepipedi, prizmi trekëndor dhe piramida janë shumëfaqëshe konvekse.
3 rrëshqitje
VETITË 1 Vetia 1. Në një shumëfaqësh konveks, të gjitha faqet janë shumëkëndësha konveks. Në të vërtetë, le të jetë F një faqe e shumëfaqëshit M, dhe pikat A dhe B i përkasin faqes F. Nga kushti i konveksitetit të shumëfaqëshit M, rrjedh se segmenti AB është tërësisht i përfshirë në shumëfaqëshin M. Meqenëse kjo segmenti shtrihet në rrafshin e shumëkëndëshit F, ai do të përfshihet tërësisht në këtë shumëkëndësh, d.m.th. F është një shumëkëndësh konveks.
4 rrëshqitje
VETINA 2 Në të vërtetë, le të jetë M një shumëfaqësh konveks. Le të marrim një pikë të brendshme S të shumëfaqëshit M, d.m.th., një pikë që nuk i përket asnjë faqeje të shumëkëndëshit M. Le të lidhim pikën S me kulmet e shumëkëndëshit M sipas segmenteve. Vini re se për shkak të konveksitetit të shumëfaqëshit M, të gjitha këto segmente përmbahen në M. Konsideroni piramidat me kulm S, bazat e të cilave janë faqet e poliedrit M. Këto piramida janë tërësisht të përfshira në M, dhe së bashku ato formojnë shumëfaqëshi M. Vetia 2. Çdo shumëfaqësh konveks mund të përbëhet nga piramida me kulm të përbashkët, bazat e të cilave formojnë sipërfaqen e një shumëkëndëshi.
5 rrëshqitje
Ushtrimi 1 Në figurë tregoni figurat konvekse dhe jokonvekse të planit. Përgjigje: a), d) – konveks; b), c) – jo konveks.
6 rrëshqitje
Ushtrimi 2 A është gjithmonë një figurë konvekse kryqëzimi i figurave konvekse? Përgjigje: Po.
7 rrëshqitje
Ushtrimi 3 A është bashkimi i figurave konvekse gjithmonë një figurë konvekse? Përgjigje: Jo.
8 rrëshqitje
Ushtrimi 4 A është e mundur të formohet një kënd katërkëndor konveks me këto kënde të sheshta: a) 56o, 98o, 139o dhe 72o; b) 32o, 49o, 78o dhe 162o; c) 85o, 112o, 34o dhe 129o; d) 43o, 84o, 125o dhe 101o. Pa pergjigje; b) po; c) jo; d) po.
Rrëshqitja 9
Ushtrimi 5 Në figurë tregoni shumëfaqëshin konveks dhe jokonveks. Përgjigje: b), d) – konveks; a), c), d) - jo konveks.
10 rrëshqitje
Ushtrimi 6 A mund të jetë një shumëkëndësh jokonveks faqe e një shumëkëndëshi konveks? Përgjigje: Jo.
Rrëshqitja 1
Rrëshqitja 2
Teorema. Në një kënd trekëndor, shuma e këndeve të rrafshët është më e vogël se 360 dhe shuma e çdo dy prej tyre është më e madhe se e treta. Jepet: Оabc – këndi trekëndor; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Vetia kryesore e një këndi trekëndor. Vërtetoni: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Rrëshqitja 3
Prova I. Le< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Rrëshqitja 4
Formula me tre kosinus. Pasojat. 1) Për të llogaritur këndin ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit zbatohet formula: 2) Këndi ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit është këndi më i vogël që formon kjo drejtëz me drejtëzat e këtij rrafshi.
Rrëshqitja 5
II. Në skajet e këtij këndi vendosim pikat A’, B’ dhe C’ në mënyrë që |OA’| = |OB'| = |OC'| Atëherë trekëndëshat A'OB', B'OC' dhe C'OA' janë dykëndësh, dhe këndet e tyre në bazat 1 - 6 janë akute. Për këndet trekëndore me kulme A’, B’ dhe C’, zbatojmë pabarazitë e vërtetuara në paragrafin I: C’A’B’< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Rrëshqitja 6
III. Le ta konsiderojmë rrezen c’ – plotësuese të rrezes c dhe për këndin trekëndor Оabc’ përdorim pabarazinë e provuar në paragrafin II për një kënd arbitrar trekëndor: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Dy pabarazitë e tjera vërtetohen në mënyrë të ngjashme. Jepet: Оabc – këndi trekëndor; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Vërtetoni: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + > . me'
Rrëshqitja 7
Pasoja. Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi i rrafshët në kulm është më i vogël se 120.
Rrëshqitja 8
Përkufizimi. Këndet trekëndore quhen të barabarta nëse të gjithë këndet e tyre të rrafshit dhe dykëndëshit janë të barabartë. Shenjat e barazisë së këndeve trekëndore. Këndet trekëndore janë të barabartë nëse kanë përkatësisht të barabartë: dy kënde të rrafshët dhe një kënd dykëndor ndërmjet tyre; 2) dy kënde dihedrale dhe një kënd i sheshtë midis tyre; 3) tre kënde të sheshta; 4) tre kënde dihedrale. Oriz. 4b
Rrëshqitja 9
. . Jepet një kënd trekëndor Oabc. Le< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
Rrëshqitja 10
II. Le > 90 ; > 90, më pas konsideroni rrezen c', plotësuese të c, dhe këndin përkatës trekëndor Oabc', në të cilin këndet e rrafshët – dhe – janë akute, dhe këndi i rrafshët dhe këndi dihedral janë të njëjtë. Sipas I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com
Titrat e rrëshqitjes:
Kënde dyhedrale Puna u përfundua nga: mësuesi i matematikës L. A. Serebryanskaya.
Një kënd dihedral është një pjesë e hapësirës e mbyllur midis dy gjysmërrafsheve që kanë një kufi të përbashkët.
Gjysmë-rrafshët α dhe β që formojnë një kënd dykëndor quhen faqet e tij
Le të zgjedhim një pikë arbitrare C në skajin A D të këndit dykëndor dhe të vizatojmë një plan α përmes tij pingul me skajin AP. Rrafshi α pret faqet e këndit dihedral përgjatë rrezeve a dhe b, të cilat formojnë një kënd të caktuar madhësia φ. Ky kënd quhet kënd linear dihedral
Kur dy plane kryqëzohen, formohen katër kënde dihedrale. Madhësia e më të voglit prej këtyre këndeve dihedrale quhet këndi ndërmjet këtyre rrafsheve.
Nëse rrafshet janë paralele, atëherë këndi ndërmjet tyre është 0° sipas përcaktimit. Nëse φ është këndi ndërmjet dy rrafsheve, atëherë 0°
Problem Në kubin ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, gjeni këndin midis rrafsheve BC 1 D dhe BA 1 D. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
Problema e dhënë: kubi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Gjeni: këndin ndërmjet rrafsheve BC 1 D dhe BA 1 D Zgjidhja: A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O ∆ BDA 1 dhe ∆ DC 1 B – dykëndësh të barabartë AO dhe C 1 O janë pingul me DB =» A 1 O C 1 C 1 O e dëshiruar është diagonalja e një katrori me brinjë të barabartë me 1.
http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t=320
Me temën: zhvillime metodologjike, prezantime dhe shënime
Një nga temat kryesore në stereometri është tema "Këndet dihedral". Përkundër faktit se studentët mësojnë lehtësisht konceptet e një këndi dihedral dhe këndin e tij linear, lindin shumë vështirësi kur zgjidhin...
Një kënd dihedral është një figurë e formuar nga një vijë e drejtë. a dhe dy gjysmërrafshe me një kufi të përbashkët a , që nuk i përkasin të njëjtit aeroplan.
Drejt a – buzë dyhedrale
a
Në jetën e përditshme shpesh hasim objekte që kanë formën e një këndi dykëndor. Objekte të tilla janë çatitë me gurë të ndërtesave, një libër gjysmë i hapur, një mur i dhomës së bashku me dyshemenë etj.
Dy gjysmë rrafshe - faqe të një këndi dihedral
Algoritmi për ndërtimin e një këndi linear.
Këndi ROK – këndi linear i këndit dihedral P DE K.
Masa e shkallës së një këndi dihedral është masa e shkallës së këndit të tij linear.
Këndet trekëndore dhe shumëkëndëshe
Prezantoni përkufizimin e këndeve trekëndësh dhe shumëkëndësh;
Njihuni me llojet e ndryshme të këndeve poliedrike;
Studioni vetitë e këndeve shumëkëndëshe dhe mësoni si t'i zbatoni ato në zgjidhjen e problemeve.
KËNDET SHUMËHEDAL
Një sipërfaqe e formuar nga një grup i kufizuar këndesh të rrafshët A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 me majë të përbashkët S, në të cilat këndet fqinje nuk kanë pika të përbashkëta, përveç pikave të një rrezeje të përbashkët, dhe këndet jo fqinjë nuk kanë pika të përbashkëta, përveç një kulmi të përbashkët, do të quhen sipërfaqe poliedrike.
Figura e formuar nga sipërfaqja e specifikuar dhe njëra nga dy pjesët e hapësirës së kufizuar prej saj quhet kënd poliedrik. Top i zakonshëm S quhet kulmi i një këndi shumëkëndor. Rrezet S.A. 1 , …, S.A. n quhen skajet e një këndi shumëkëndor dhe vetë këndet e rrafshët A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 - faqet e një këndi poliedrik. Një kënd poliedrik tregohet me shkronja S.A. 1 … A n, duke treguar kulmin dhe pikat në skajet e tij.
KËNDET SHUMËHEDAL
Në varësi të numrit të faqeve, këndet poliedrike janë trekëndësh, katërkëndor, pesëkëndor etj.
KËNDËT TRIHEDAL
Teorema. Çdo kënd i rrafshët i një këndi trekëndor është më i vogël se shuma e dy këndeve të tjera të rrafshit.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
KËNDËT TRIHEDAL
Me pronën. Shuma e këndeve të rrafshët të një këndi trekëndor është më e vogël se 360.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
KËNDET KONVEKS SHUMËHEDAL
Një kënd shumëedral quhet konveks nëse është një figurë konvekse, d.m.th., së bashku me çdo dy nga pikat e tij, ai përmban tërësisht segmentin që i lidh ato. Figura tregon shembuj të këndeve poliedrike konvekse dhe jokonvekse.
Prona. Shuma e të gjitha këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është më pak se 360°.
Kënde poliedrike vertikale
Shifrat tregojnë shembuj të këndeve vertikale trekëndore, katërkëndore dhe pesëkëndore
Teorema. Këndet vertikale janë të barabarta.
Matja e këndeve poliedrike
Meqenëse vlera e shkallës së një këndi diedral të zhvilluar matet me vlerën e shkallës së këndit linear përkatës dhe është i barabartë me 180 °, do të supozojmë se vlera e shkallës së të gjithë hapësirës, e cila përbëhet nga dy kënde diedrale të zhvilluara, është e barabartë me 360 °. Madhësia e një këndi shumëkëndor, e shprehur në gradë, tregon se sa hapësirë zë një kënd shumëkëndor i caktuar. Për shembull, një kënd trekëndor i një kubi zë një të tetën e hapësirës dhe, për rrjedhojë, vlera e shkallës së tij është 360 o: 8 = 45 o. Këndi trekëndor në saktë n-prizmi gonal është i barabartë me gjysmën e këndit dihedral në skajin anësor. Duke marrë parasysh që ky kënd dihedral është i barabartë, marrim se këndi trekëndor i prizmit është i barabartë.
Ushtrimi 1
A mund të ketë një kënd trekëndor me kënde të sheshta: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Pa pergjigje;
Ushtrimi 2
Jepni shembuj të shumëkëndëshave, faqet e të cilave, të kryqëzuara në kulmet, formojnë vetëm: a) kënde trekëndëshe; b) këndet tetraedrale; c) kënde pesëkëndëshe.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: a) Katërkëndësh, kub, dykëndësh;
b) oktaedrin;
c) ikozaedron.
Ushtrimi 3
Dy këndet e rrafshët të një këndi trekëndor janë 70° dhe 80°. Cilat janë kufijtë e këndit të rrafshit të tretë?
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: 10 o 
1. Figura tregon një shumëkëndësh; të gjitha këndet dykëndore të shumëfaqëshit janë kënde të drejta. Gjeni distancën midis kulmeve A dhe C2
Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë, sipas teoremës së Pitagorës
3. Gjeni këndin CAD2 të shumëfaqëshit të paraqitur në figurë. Të gjitha këndet dihedrale të një poliedri janë kënde të drejta. Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.
Konsideroni trekëndëshin CAD2 ku AC = CD2 = AD2, pasi ato janë diagonale me katrorë të barabartë.Prandaj, trekëndëshi CAD2 është barabrinjës, pra të gjithë këndet e tij janë të barabartë me 60°.
4. Gjeni këndin ABD të shumëfaqëshit të paraqitur në figurë. Të gjitha këndet dihedrale të një poliedri janë kënde të drejta. Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.
Vini re se ABCD është një katror me brinjën 2 dhe BD është diagonalja e tij.Kjo do të thotë se trekëndëshi ABD është kënddrejtë dhe dykëndësh, AB=AD. Këndi ABD është 45°.
5. Figura tregon një shumëkëndësh; të gjithë këndet dykëndësh të shumëfaqëshit janë kënde të drejta. Gjeni katrorin e distancës ndërmjet kulmeve B2 dhe D3.
6. Figura tregon një shumëkëndësh; të gjithë këndet dykëndësh të shumëfaqëshit janë kënde të drejta. Gjeni katrorin e distancës ndërmjet kulmeve A dhe C3.
7. Gjeni këndin EAD2 të poliedrit të paraqitur në figurë. Të gjitha këndet dihedrale të një poliedri janë kënde të drejta. Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.
Ushtrimi 5
Në një kënd trekëndor, dy kënde të rrafshët janë të barabartë me 45°; këndi dihedral ndërmjet tyre është i drejtë. Gjeni këndin e tretë të rrafshit.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: 6 0 o.
Ushtrimi 6
Këndet e rrafshët të një këndi trekëndor janë 60°, 60° dhe 90°. Segmente të barabarta janë hedhur në skajet e tij nga kulmi O.A. , O.B. , O.C. . Gjeni këndin dihedral ndërmjet rrafshit të këndit 90° dhe rrafshit ABC .
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: 9 0 o.
Ushtrimi 7
Çdo kënd i rrafshët i një këndi trekëndor është 60°. Në njërën nga skajet e saj shtrihet një segment i barabartë me 3 cm nga lart, dhe një pingul hidhet nga fundi i tij në faqen e kundërt. Gjeni gjatësinë e kësaj pingule.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: shih
Ushtrimi 8
Gjeni vendndodhjen e pikave të brendshme të një këndi trekëndor në distancë të barabartë nga faqet e tij.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: Një rreze, kulmi i së cilës është kulmi i një këndi trekëndor, i shtrirë në vijën e prerjes së rrafsheve që i ndajnë këndet dykëndësh në gjysmë.
Ushtrimi 9
Gjeni vendndodhjen e pikave të brendshme të një këndi trekëndor të barabartë nga skajet e tij.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: Një rreze, kulmi i së cilës është kulmi i një këndi trekëndor, i shtrirë në vijën e kryqëzimit të rrafsheve që kalojnë nëpër përgjysmuesit e këndeve të rrafshët dhe pingul me rrafshet e këtyre këndeve.
Ushtrimi 10
Gjeni vlerat e përafërta të këndeve trekëndore të tetraedrit.
Për këndet dihedrale të një katërkëndëshi kemi:
Nga vjen 70 rreth 30?
Për këndet trekëndore të një katërkëndëshi kemi:
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: 15 rreth 45".
Ushtrimi 11
Gjeni vlerat e përafërta të këndeve tetraedrale të oktaedrit.
Për këndet dihedrale të oktaedrit kemi:
Nga vjen 109 o 30?
Për këndet tetraedrale të tetëedrit kemi:
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: 38 rreth 56".
Ushtrimi 12
Gjeni vlerat e përafërta të këndeve pesëkëndëshe të ikozaedrit.
Për këndet dihedrale të ikozaedrit kemi:
Ku është 138 rreth 11".
Për këndet pesëkëndëshe të ikozaedrit kemi:
Përgjigje: 75 rreth 28".
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Ushtrimi 13
Gjeni vlerat e përafërta të këndeve trekëndore të dodekaedrit.
Për këndet dihedrale të dodekaedrit kemi:
Ku është 116 rreth 3 4".
Për këndet trekëndore të dodekaedrit kemi:
Përgjigje: 84 rreth 51".
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Ushtrimi 14
Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe SABCD Ana e bazës është 2 cm, lartësia 1 cm Gjeni këndin katërkëndor në majë të kësaj piramide.
Zgjidhja: Piramidat e treguara e ndajnë kubin në gjashtë piramida të barabarta me kulmet në qendër të kubit. Rrjedhimisht, këndi me 4 anë në majë të piramidës është një e gjashta e këndit 360 gradë, d.m.th. e barabartë me 60 o.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: 60 o.
Ushtrimi 15
Në një piramidë të rregullt trekëndore, skajet anësore janë të barabarta me 1, këndet në kulm janë 90 gradë. Gjeni këndin trekëndor në kulmin e kësaj piramide.
Zgjidhja: Piramidat e treguara ndajnë tetëedronin në tetë piramida të barabarta me kulmet në qendër O tetëkëndësh. Rrjedhimisht, këndi 3 anësor në majë të piramidës është një e teta e një këndi prej 360 gradë, d.m.th. e barabartë me 45 o.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
Përgjigje: 45 o.
Ushtrimi 16
Në një piramidë të rregullt trekëndore, skajet anësore janë të barabarta me 1, dhe lartësia Gjeni këndin trekëndor në kulmin e kësaj piramide.
Zgjidhja: Piramidat e treguara ndajnë një tetraedron të rregullt në katër piramida të barabarta me kulme në qendër O katërkëndësh. Rrjedhimisht, këndi 3 anësor në majë të piramidës është një e katërta e një këndi prej 360 gradë, d.m.th. e barabartë me 90 o.
Në modalitetin e rrëshqitjes, përgjigja shfaqet pasi klikoni miun.
