namai » Namas ir sklypas » Kaip rankiniu būdu rasti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kvadratinė šaknis. Išsami teorija su pavyzdžiais Kiek yra 100 šaknis

Kaip rankiniu būdu rasti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kvadratinė šaknis. Išsami teorija su pavyzdžiais Kiek yra 100 šaknis

Problema rasti šaknį matematikoje yra atvirkštinė skaičiaus didinimo į laipsnį problema. Yra įvairių šaknų: antrojo laipsnio, trečio laipsnio, ketvirto laipsnio šaknys ir pan. Tai priklauso nuo to, kokia galia iš pradžių buvo padidintas skaičius. Šaknis nurodomas simboliu: √ yra kvadratinė šaknis, tai yra antrojo laipsnio šaknis; jei šaknis turi didesnį laipsnį nei antrasis, tada atitinkamas laipsnis priskiriamas virš šaknies ženklo. Skaičius, esantis po šaknies ženklu, yra radikali išraiška. Ieškant šaknies, yra keletas taisyklių, kurios padės nesuklysti ieškant šaknies:

Lyginės šaknies (jei laipsnis yra 2, 4, 6, 8 ir tt) neigiamo skaičiaus NĖRA. Jei radikali išraiška yra neigiama, bet ieškoma nelyginio laipsnio šaknies (3, 5, 7 ir tt), tada rezultatas bus neigiamas.
Bet kurios vieno laipsnio šaknis visada yra viena: √1 = 1.
Nulio šaknis lygi nuliui: √0 = 0.

Kaip rasti 100 šaknį

Jei uždavinyje nepasakoma, kokią laipsnio šaknį reikia rasti, tai dažniausiai reiškia, kad reikia rasti antrojo laipsnio šaknį (kvadratą).
Raskime √100 = ? Turime rasti skaičių, kurį pakėlus į antrą laipsnį, gaunamas skaičius 100. Akivaizdu, kad toks skaičius yra skaičius 10, nes: 10 2 = 100. Todėl √100 = 10: kvadratinė šaknis iš 100 yra 10.

„Prekybos“ revoliucija
Komkovas Sergejus 2012-12-26

Atsižvelgiant į tai, kad Rusija ką tik įstojo į PPO, sunaikintas RGTEU, pirmaujantis Rusijos universitetas prekybos (ir pirmiausia užsienio prekybos) santykių sistemoje, taip pat atleistas jo rektorius, garsus politikas Sergejus. Baburinai, atrodyk daugiau nei kvaila. Visa tai labai panašu į iš anksto suplanuotą provokaciją.

Panašu, kad Pasaulio prekybos organizacija, o daugiausia joje pagrindinį vaidmenį atliekančios JAV, rimtai susirūpino dėl galimų Rusijos įstojimo į šią organizaciją pasekmių.

Bet tada jie laiku prisiminė, kad jų iškelta ir puoselėjama organizacija – Aukštoji ekonomikos mokykla – Rusijoje veikia jau seniai ir sėkmingai. Būtent jis buvo sukurtas 1992 metais Pasaulio banko lėšomis, siekiant sugriauti visą intelektualinį tautos potencialą mūsų šalyje. Jai vadovaujant šiandien veikia pagrindinis kolektyvinis šios srities „įtakos agentas“ – Rusijos švietimo ir mokslo ministerija.

Galima daug ir iki begalybės kalbėti apie naujai nukaldinto ministro pono Livanovo kvailumą ir nekompetenciją, sunkiai skiriantį išsilavinimo tipus ir sritis. Bet pats P. Livanovas yra absoliutus nulis be lazdos. Iš kieno lūpų kaskart jas pravėrus tikrai išlenda kažkokia nauja nesąmonė. Už jo šmėžuoja spalvingesnės figūros. Pavyzdžiui, pagrindinis visų mūsų šalies ekonominių transformacijų „ideologas“ JAV pilietis Jevgenijus Jasinas ir jo padėjėjas HSE rektorius Jaroslavas Kuzminovas.

Būtent jie, Amerikos patarėjų iš Pasaulio banko iniciatyva, aktyviai dirbdami Aukštosios ekonomikos mokyklos pagrindu, sugalvojo vadinamojo Rusijos universitetų „stebėjimo“ kriterijus.

Ir niekam nebe paslaptis, kad pagal šiuos „kriterijų“ reikšmingiausios Rusijos aukštosios mokyklos pateko į „neveiksmingų“ kategoriją. Universitetai, turintys turtingą istoriją ir tradicijas, turintys didžiulį kūrybinį potencialą. Pavyzdžiui, MARCHI, RSUH, Literatūros institutas.

Į šią kategoriją pateko ir Rusijos valstybinis prekybos ir ekonomikos universitetas – RGTEU. Nors pagal daugelį savo rodiklių šis universitetas gali duoti šimtu taškų pranašumą pačiai „Pleškai“, prie kurios jie taip staiga nusprendė prisijungti. Ir pirmiausia – specialistų rengimo užsienio prekybos sistemai klausimais.

RGTEU turi ne tik didžiulius tarptautinius ryšius. Jame nuodugniai nagrinėjami užsienio šalių prekybos plėtros ypatumai. Šio universiteto sienose nuolat kalba garsūs pasaulio ekonomikos ir politikos veikėjai bei užsienio šalių ambasadoriai. Šio universiteto garbės daktarai yra pirmaujantys pasaulio lyderiai. Pavyzdžiui, Fidelis Castro ir Hugo Chavezas.

Ir tai, kaip žinote, yra Amerikos „prisiekę draugai“. Taigi instrumentai buvo panaudoti tokiai pavojingai mokymo įstaigai sunaikinti. Kad Rusija, neduok Dieve, nenukryptų nuo „tikrojo kelio“ ir neišduos Amerikos klientų interesų.

O paties rektoriaus – Rusijoje ir toli už jos sienų žinomo politiko ir mokslininko – asmenybė mūsų amerikiečių dėdėms išsiskyrė kaip kaulas gerklėje.

Sergejus Baburinas buvo ne tik vienas iš parlamentinės opozicijos lyderių, užėmęs vicepirmininko vietą ankstesnėje Rusijos Valstybės Dūmos sudėtyje. Jis buvo aktyvus naujosios Rusijos politikos šalininkas visoje posovietinėje erdvėje. Būtent jis 2006 m. aktyviai padėjo Abchazijos žmonėms išbristi iš giliausios politinės krizės. Kuriame, beje, jį vėl varė tie patys kvaili vyriausybės pareigūnai ir Rusijos prezidento administracija, paklusni Amerikos patarėjų valiai.

Sergejaus Baburino pastangomis pažangios pajėgos, vadovaujamos Sergejaus Bagapšo, tuomet Abchazijoje įgavo pranašumą. O nuo 2008 metų Abchazija tapo pagrindine Rusijos strategine partnere Šiaurės Kaukaze.

Tokia pozicija yra sveiko, subalansuoto patriotizmo išraiška. Todėl jau eilę metų Baburinas vadovauja Rusijos liaudies sąjungai ir yra kasmetinių tradicinių rusiškų eitynių organizatorius. Ne su svastikomis ir fašistiniais šūkiais „Rusija tik rusams! O kalbos su reikalavimais gerbti Rusijos nacionalinius interesus užsienio politikos klausimais ir vykdyti savo tautai duotus socialinius pažadus yra gana suprantamos visiems šalies gyventojams.

Bet kaip tik to nemėgsta Rusijos valdžios biuruose įsitvirtinę amerikiečių pakalikai. Nes jiems reikalavimas gerbti mūsų nacionalinius interesus yra kaip peilis į širdį.

Taigi kažkam kilo mintis vienu smūgiu nukauti du paukščius: universitetą, ruošiantį specialistus sėkmingai Rusijos užsienio prekybai, ir patriotiškai nusiteikusį rektorių.

Paprastai tokiems veiksmams labiausiai tinka kvailiai. Nes, kaip žinome, jie nežino, ką iš tikrųjų daro. Tačiau šiuo konkrečiu atveju gali būti padaryta labai rimta klaida, kupina skaudžių socialinių pasekmių visai šaliai.

Mūsų valdininkai, godūs valdžios šlamšto ir laikantys save visiškai teisūs dėl bet kokių neteisių darbų, pamiršo paprasčiausią tiesą: jie neturi galios jaunatviškoms sieloms ir jaunatviškiems polėkiams.

Būtent toks impulsas praėjusio amžiaus septintojo dešimtmečio pabaigoje nušlavė generolo De Golio vyriausybę Prancūzijoje. Ten irgi viskas prasidėjo nuo iš pažiūros nekenksmingų dalykų. Ir tai baigėsi bendru chaosu, riaušėmis, deginančiomis mašinomis ir biurais.

Jaunimas (ypač organizuotas studentiškas jaunimas) nėra būrys bankrutavusių opozicijos politikų, kurie buvo valdžioje ir dėl to yra labai įžeisti. Studentiškas jaunimas visada ir visais laikais buvo viena pagrindinių revoliucijos varomųjų jėgų. Ir šiandieninis jaunimas nėra taisyklės išimtis. Priešingai. Būtent šiandieninis jaunimas, ypač jautrus visuomenėje iškilusiai socialinei neteisybei ir nelygybei, yra pajėgus žengti stačiausius ir radikaliausius žingsnius. O jei valdžia bandys panaudoti jėgą, tai jai bus lemtinga. Nes jaunimas jai to niekada neatleis.

Kai P. Livanovas ir Co paskelbė apie ketinimą panaudoti jėgą ir pradėti spręsti aukštojo mokslo problemą uždarant ir sujungiant universitetus, jie iš tikrųjų pasirašė savo mirties nuosprendį. Jie net nesusimąstė, kokias gilias jėgas kelia. Ir tai baigsis tragiškai ne tik tiems, kurie šiandien atsiduria vadovaujančiose pozicijose Švietimo ir mokslo ministerijoje, bet ir visai Rusijos vadovybei. Nes net lokaliai nuslopintas jaunimo maištas neeina į užmarštį. Jis bręsta su nauja jėga. Tačiau kur ir kada tai ištiks, niekas negali numatyti.

Taigi įvykiai RGTEU tik iš pirmo žvilgsnio atrodo kaip kažkokia „prekybos revoliucija“. Tiesą sakant, jie yra kito – kietesnio ir kruvinesnio socialinio karo, kuriame nugalėtojų nebus, – pranašai.

Pralaimėtojas žinomas iš anksto. Tai mūsų Tėvynė. Šalis, kurią vis dar kartais su pasididžiavimu vadiname Rusija.

Todėl šiandieniniai Švietimo ir mokslo ministerijos vadovybės veiksmai vienos švietimo įstaigos ir vieno rektoriaus atžvilgiu gali būti vertinami kaip socialinio karo kurstymas kitos valstybės vardu ir naudai.

Ir tai vadinasi: Nacionalinė išdavystė.

Šiandien šiame mūsų svetainės puslapyje išsiaiškinsime, kas yra 100 kvadratinė šaknis. Išsiaiškinkime kartu, kas yra kvadratinė šaknis iš 100, nes 1000 mokslininkų šia tema blaškėsi daugelį dešimtmečių, o daugelis iš skaičiavimų priėjo prie neišvengiamos išvados, kad tokios šaknies iš viso nėra ir tai tiesiog neįmanoma jo apskaičiuoti. Taip pat šiuo atveju labai svarbu tiksliai užduoti klausimą, kaip nustatyti kvadratinę šaknį iš 100. Tiksliau, apskaičiuosime aritmetinę kvadratinę šaknį iš 100, nes įprastoje 100 kvadratinėje šaknyje gausime du skaičiai: 10 ir - 10.

Šių mums reikalingų skaičių sumą galime apskaičiuoti naudodami paprastą aritmetinę techniką, naudodami vertikalią, pažįstamą liniją, skaičius ir šaknis, parašytas apatiniame dešiniajame kampe. Ten rasime mums reikalingos šaknies vienetų kvadratą, tada padauginsime dešimtis ir rassime dvigubą, o ne trigubą bet kurios šaknies dešimties sandaugą iš vienetų. Kai kuriuos skaičius turėsime padalyti kvadratu, kad bendra suma taptų dviženkliu skaičiumi; jei galų gale gausime skaičių 10, tada su jumis viską padarėme teisingai. Svarbiausia iš pradžių bent šiek tiek susipažinti su matematika ir kvadratinės šaknies sudarymo matematine progresija prieš pradedant skaičiavimus.

Prisiminkite vieną ir pagrindinę taisyklę: norėdami iš bet kurio sveikojo skaičiaus išgauti reikiamą kvadratinę šaknį, pirmiausia iš jo sumų ir šimtų skaičiaus ištraukiame bet kurią mums reikalingą šaknį. Jei skaičius lygus arba didesnis nei 100, tada pradedame ieškoti šimtų tikrųjų skaičių šaknų iš šių šimtų, tada iš dešimčių tūkstančių tikrojo skaičiaus, ypač jei nurodytas skaičius yra daug didesnis nei 100 , tada būtinai išskirsime šimtų dešimčių tūkstančių šaknį arba, tiksliau: iš milijono tam tikro skaičiaus. Šia tema yra daug taisyklių ir įvairių mokslinių rekomendacijų, mokyklų programos, skirtos išgauti kvadratinę šaknį iš 100, visada išliks nepakitusios.

Jei atsižvelgsime į skaičiaus 100 šaknies paieškos eigą, turime atkreipti dėmesį į tai, kad šaknyje yra tiek skaitmenų, kiek yra po baigtiniu kraštų skaičiumi, o kairę gali sudaryti tik viena skaitmenų. Remiantis visa tai, tiksliausia kvadratinė šaknis iš bet kurio skaičiaus planetoje Žemėje bus skaičių suma, kurios kvadratas yra tiksliai lygus duotam skaičiui, kai jis apskaičiuojamas. Čia galime užbaigti trumpą kursą, skirtą 100 kvadratinės šaknies apskaičiavimui, kuri bus lygi (10) dešimt.

Konstantinova Vera

Kaip rasti skaičiaus šaknį

Problema rasti šaknį matematikoje yra atvirkštinė skaičiaus didinimo į laipsnį problema. Yra įvairių šaknų: antrojo laipsnio, trečio laipsnio, ketvirto laipsnio šaknys ir pan. Tai priklauso nuo to, kokia galia iš pradžių buvo padidintas skaičius. Šaknis žymima simboliu: √ yra kvadratinė šaknis, tai yra antrojo laipsnio šaknis; jei šaknis turi didesnį laipsnį nei antrasis, tada atitinkamas laipsnis priskiriamas virš šaknies ženklo. Skaičius, esantis po šaknies ženklu, yra radikali išraiška. Ieškant šaknies, yra keletas taisyklių, kurios padės nesuklysti ieškant šaknies:

Lyginės šaknies (jei laipsnis yra 2, 4, 6, 8 ir tt) neigiamo skaičiaus NĖRA. Jei radikali išraiška yra neigiama, bet ieškoma nelyginio laipsnio šaknies (3, 5, 7 ir tt), tada rezultatas bus neigiamas.
Bet kurios vieno laipsnio šaknis visada yra viena: √1 = 1.
Nulio šaknis lygi nuliui: √0 = 0.

Kaip rasti 100 šaknį

Kas yra kvadratinė šaknis?

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Ši koncepcija yra labai paprasta. Natūralu, sakyčiau. Matematikai stengiasi rasti reakciją į kiekvieną veiksmą. Yra pridėjimas - yra ir atimtis. Yra daugyba – yra ir dalyba. Yra kvadratūra... Taigi taip pat yra imdamas kvadratinę šaknį! Tai viskas. Šis veiksmas ( kvadratinė šaknis) matematikoje žymimas šia piktograma:

Pati piktograma vadinama gražiu žodžiu " radikalus".

Kaip išgauti šaknį? Geriau žiūrėti pavyzdžių.

Kas yra kvadratinė šaknis iš 9? Koks skaičius kvadratu duos mums 9? 3 kvadratai suteikia mums 9! Tie:

Bet kas yra kvadratinė šaknis iš nulio? Jokiu problemu! Kokį skaičių kvadratu sudaro nulis? Taip, tai duoda nulį! Priemonės:

Supratau, kas yra kvadratinė šaknis? Tada svarstome pavyzdžių:

Atsakymai (netvarkingai): 6; 1; 4; 9; 5.

Nusprendė? Tikrai, kiek lengviau?!

Bet... Ką daro žmogus, pamatęs kokią nors užduotį su šaknimis?

Žmogus pradeda liūdėti... Jis netiki savo šaknų paprastumu ir lengvumu. Nors atrodo, kad žino kas yra kvadratinė šaknis...

Taip yra todėl, kad tyrinėdamas šaknis asmuo ignoravo keletą svarbių dalykų. Tada šios mados žiauriai keršija už testus ir egzaminus...

Taškas vienas. Šaknis reikia atpažinti iš matymo!

Kas yra kvadratinė šaknis iš 49? Septyni? Teisingai! Iš kur žinai, kad septyni? Sudarė septynis kvadratus ir gavo 49? Teisingai! Prašau Pasižymėk tai ištraukti šaknį iš 49 turėjome atlikti atvirkštinę operaciją – 7 kvadratas! Ir įsitikinkite, kad nepraleisime. Arba jie galėjo praleisti...

Tai yra sunkumas šaknų ištraukimas. Kvadratas Galite naudoti bet kurį numerį be jokių problemų. Padauginkite skaičių iš stulpelio – viskas. Bet už šaknų ištraukimas Tokios paprastos ir saugios technologijos nėra. Mes privalome paimti atsakykite ir patikrinkite, ar jis teisingas, padalydami jį kvadratu.

Šis sudėtingas kūrybinis procesas – atsakymo pasirinkimas – labai supaprastėja, jei Prisiminti populiarių skaičių kvadratai. Kaip daugybos lentelė. Jei, tarkime, reikia padauginti 4 iš 6, nepridėsi keturių 6 kartus, ar ne? Iš karto pasirodo atsakymas 24. Nors ne visi jį supranta, taip...

Norint laisvai ir sėkmingai dirbti su šaknimis, pakanka žinoti skaičių kvadratus nuo 1 iki 20. ten Ir atgal. Tie. jūs turėtumėte sugebėti lengvai deklamuoti ir, tarkime, 11 kvadratą, ir kvadratinę šaknį iš 121. Norėdami tai įsiminti, yra du būdai. Pirmasis yra išmokti kvadratų lentelę. Tai bus puiki pagalba sprendžiant pavyzdžius. Antrasis – išspręsti daugiau pavyzdžių. Tai labai padės prisiminti kvadratų lentelę.

Ir jokių skaičiuoklių! Tik bandymo tikslais. Priešingu atveju per egzaminą negailestingai sulėtinsite greitį...

Taigi, kas yra kvadratinė šaknis Ir kaip ekstraktas šaknis– Manau, aišku. Dabar išsiaiškinkime, iš ko galime juos išgauti.

Antras taškas. Root, aš tavęs nepažįstu!

Iš kokių skaičių galima paimti kvadratines šaknis? Taip, beveik bet kuris iš jų. Lengviau suprasti, nuo ko tai tai uždrausta juos išgauti.

Pabandykime apskaičiuoti šią šaknį:

Norėdami tai padaryti, turime pasirinkti skaičių, kuris kvadratu duos mums -4. Mes pasirenkame.

Ką, netinka? 2 2 suteikia +4. (-2) 2 vėl suteikia +4! Tai tiek... Nėra skaičių, kuriuos sudėjus kvadratu gautume neigiamą skaičių! Nors aš žinau šiuos skaičius. Bet aš tau nesakysiu). Eikite į koledžą ir patys sužinosite.

Ta pati istorija nutiks su bet kokiu neigiamu skaičiumi. Taigi išvada:

Išraiška, kurioje po kvadratinės šaknies ženklu yra neigiamas skaičius - neturi prasmės! Tai yra draudžiama operacija. Tai taip pat draudžiama, kaip dalyti iš nulio. Prisiminkite šį faktą tvirtai! Arba kitaip:

Negalite išskirti kvadratinių šaknų iš neigiamų skaičių!

Tačiau iš visų kitų tai įmanoma. Pavyzdžiui, visiškai įmanoma apskaičiuoti

Iš pirmo žvilgsnio tai labai sunku. Trupmenų parinkimas ir jų kvadratūra... Nesijaudinkite. Kai suprasime šaknų savybes, tokie pavyzdžiai bus sumažinti iki tos pačios kvadratų lentelės. Gyvenimas taps lengvesnis!

Gerai, trupmenos. Tačiau vis tiek susiduriame su tokiais posakiais kaip:

Viskas gerai. Visi vienodi. Kvadratinė šaknis iš dviejų yra skaičius, kurį pateikus kvadratu gauname du. Tik šis skaičius visiškai nelygus... Štai jis:

Įdomu tai, kad ši trupmena niekada nesibaigia... Tokie skaičiai vadinami neracionaliais. Kvadratinėse šaknyse tai yra labiausiai paplitęs dalykas. Beje, dėl to ir vadinami posakiai su šaknimis neracionalus. Aišku, kad visą laiką rašyti tokią begalinę trupmeną yra nepatogu. Todėl vietoj begalinės trupmenos jie palieka taip:

Jei spręsdami pavyzdį gausite kažką, ko negalima išgauti, pvz.:

tada paliekame taip. Tai bus atsakymas.

Turite aiškiai suprasti, ką reiškia piktogramos

Žinoma, jei paimama skaičiaus šaknis sklandžiai, jūs turite tai padaryti. Pavyzdžiui, atsakymas į užduotį yra formoje

Gana išsamus atsakymas.

Ir, žinoma, iš atminties turite žinoti apytiksles reikšmes:

Šios žinios labai padeda įvertinti situaciją atliekant sudėtingas užduotis.

Trečias taškas. Pats gudriausias.

Pagrindinę painiavą dirbant su šaknimis sukelia šis taškas. Būtent jis suteikia pasitikėjimo savo jėgomis... Su šiuo klausimu susitvarkykime tinkamai!

Pirmiausia dar kartą paimkime keturių iš jų kvadratinę šaknį. Ar aš jau varginau jus dėl šios šaknies?) Nesvarbu, dabar bus įdomu!

Kokį skaičių sudaro 4 kvadratai? Na du, du – girdžiu nepatenkintus atsakymus...

Teisingai. Du. Bet taip pat minus du duos 4 kvadratus... Tuo tarpu atsakymas

teisinga ir atsakymas

grubi klaida. Kaip šitas.

Taigi koks susitarimas?

Iš tiesų, (-2) 2 = 4. Ir pagal kvadratinės šaknies iš keturių apibrėžimą minus du visai tinka... Tai irgi kvadratinė šaknis iš keturių.

Bet! Mokyklos matematikos kurse įprasta svarstyti kvadratines šaknis tik neneigiami skaičiai! Tai yra, nulis ir viskas yra teigiama. Buvo išrastas net specialus terminas: nuo numerio A- Tai neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra A. Neigiami rezultatai ištraukiant aritmetinę kvadratinę šaknį tiesiog atmetami. Mokykloje viskas yra iš kvadratinių šaknų - aritmetika. Nors tai nėra ypač paminėta.

Gerai, tai suprantama. Dar geriau nesivarginti dėl neigiamų rezultatų... Tai dar ne painiava.

Sumišimas prasideda sprendžiant kvadratines lygtis. Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti šią lygtį.

Lygtis paprasta, rašome atsakymą (kaip mokoma):

Šis atsakymas (beje, visiškai teisingas) yra tik sutrumpintas variantas du atsakymai:

Sustok, sustok! Tiesiog aukščiau parašiau, kad kvadratinė šaknis yra skaičius Visada ne neigiamas! Ir štai vienas iš atsakymų – neigiamas! Sutrikimas. Tai pirma (bet ne paskutinė) problema, sukelianti nepasitikėjimą šaknimis... Išspręskime šią problemą. Užrašykime atsakymus (kad suprastume!) taip:

Skliaustai nekeičia atsakymo esmės. Tiesiog atskyriau skliausteliuose ženklai iš šaknis. Dabar aiškiai matote, kad pati šaknis (skliausteliuose) vis dar yra neneigiamas skaičius! Ir ženklai yra lygties sprendimo rezultatas. Juk spręsdami bet kurią lygtį turime rašyti Visi Xs, kurie, pakeitę pradinę lygtį, duos teisingą rezultatą. Penkių šaknis (teigiama!) su pliusu ir minusu telpa į mūsų lygtį.

Kaip šitas. Jei tu tiesiog paimkite kvadratinę šaknį nuo bet ko, tu Visada tu gauni vienas neneigiamas rezultatas. Pavyzdžiui:

Nes tai - aritmetinė kvadratinė šaknis.

Bet jei sprendžiate kokią nors kvadratinę lygtį, pavyzdžiui:

Tai Visada paaiškėja du atsakymas (su pliusu ir minusu):

Nes tai yra lygties sprendimas.

viltis, kas yra kvadratinė šaknis Jūs aiškiai supratote savo mintis. Dabar belieka išsiaiškinti, ką galima padaryti su šaknimis, kokios jų savybės. O kokie taškai ir spąstai... atsiprašau, akmenys!)

Visa tai – tolesnėse pamokose.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Spręsdami įvairius uždavinius iš matematikos ir fizikos kurso, mokiniai ir studentai dažnai susiduria su poreikiu išgauti antrojo, trečiojo ar n-ojo laipsnio šaknis. Žinoma, informacinių technologijų amžiuje tokią problemą išspręsti naudojant skaičiuotuvą nebus sunku. Tačiau pasitaiko situacijų, kai neįmanoma naudotis elektroniniu asistentu.

Pavyzdžiui, daugelis egzaminų neleidžia atsinešti elektronikos. Be to, galite neturėti po ranka skaičiuotuvo. Tokiais atvejais pravartu žinoti bent kai kuriuos radikalų skaičiavimo metodus rankiniu būdu.

Kvadratinių šaknų paieška naudojant kvadratų lentelę

Vienas iš paprasčiausių šaknų skaičiavimo būdų yra naudojant specialią lentelę. Kas tai yra ir kaip teisingai jį naudoti?

Naudodami lentelę galite rasti bet kurio skaičiaus kvadratą nuo 10 iki 99. Lentelės eilutėse yra dešimčių reikšmės, o stulpeliuose - vienetų reikšmės. Ląstelėje, esančioje eilutės ir stulpelio sankirtoje, yra dviženklio skaičiaus kvadratas. Norint apskaičiuoti kvadratą 63, reikia rasti eilutę, kurios reikšmė yra 6, ir stulpelį, kurio reikšmė yra 3. Sankryžoje rasime langelį su skaičiumi 3969.

Kadangi šaknies ištraukimas yra atvirkštinė kvadrato operacija, norėdami atlikti šį veiksmą turite daryti priešingai: pirmiausia suraskite langelį su skaičiumi, kurio radikalą norite apskaičiuoti, tada naudokite stulpelio ir eilutės reikšmes, kad nustatytumėte atsakymą. . Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 169.

Lentelėje randame langelį su šiuo skaičiumi, horizontaliai nustatome dešimtis - 1, vertikaliai randame vienetus - 3. Atsakymas: √169 = 13.

Panašiai galite apskaičiuoti kubo ir n-ąsias šaknis naudodami atitinkamas lenteles.

Metodo pranašumas yra jo paprastumas ir papildomų skaičiavimų nebuvimas. Trūkumai yra akivaizdūs: metodas gali būti naudojamas tik ribotam skaičių diapazonui (skaičius, kurio šaknis randama, turi būti nuo 100 iki 9801). Be to, jis neveiks, jei nurodyto numerio nėra lentelėje.

Pirminis faktorizavimas

Jei kvadratų lentelės nėra po ranka arba pasirodė, kad su jos pagalba neįmanoma rasti šaknies, galite pabandyti suskaidykite skaičių po šaknimi į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra tie, kurie gali būti visiškai (be liekanos) dalijami tik iš savęs arba iš vieneto. Pavyzdžiai gali būti 2, 3, 5, 7, 11, 13 ir kt.

Pažvelkime į šaknies apskaičiavimą, kaip pavyzdį naudodami √576. Suskirstykime jį į pagrindinius veiksnius. Gauname tokį rezultatą: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Naudodamiesi pagrindine šaknų savybe √a² = a, atsikratysime šaknų ir kvadratų, o tada apskaičiuosime atsakymą: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Ką daryti, jei kuris nors iš daugiklių neturi savo poros? Pavyzdžiui, apsvarstykite √54 apskaičiavimą. Po faktorizavimo gauname rezultatą tokia forma: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Nenuimamą dalį galima palikti po šaknimi. Daugumos geometrijos ir algebros uždavinių atveju šis atsakymas bus skaičiuojamas kaip galutinis atsakymas. Bet jei reikia apskaičiuoti apytiksles vertes, galite naudoti metodus, kurie bus aptarti toliau.

Garnio metodas

Ką daryti, kai reikia bent apytiksliai žinoti, kam lygi išskirta šaknis (jei neįmanoma gauti sveikojo skaičiaus)? Greitas ir gana tikslus rezultatas gaunamas naudojant Heron metodą. Jos esmė yra naudoti apytikslę formulę:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kur R yra skaičius, kurio šaknį reikia apskaičiuoti, a yra artimiausias skaičius, kurio šaknies reikšmė yra žinoma.

Pažiūrėkime, kaip metodas veikia praktiškai, ir įvertinkime jo tikslumą. Apskaičiuokime, kam lygus √111. Skaičius, artimiausias 111, kurio šaknis žinoma, yra 121. Taigi, R = 111, a = 121. Pakeiskite reikšmes į formulę:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Dabar patikrinkime metodo tikslumą:

10,55² = 111,3025.

Metodo paklaida buvo maždaug 0,3. Jei metodo tikslumą reikia pagerinti, galite pakartoti anksčiau aprašytus veiksmus:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Patikrinkime skaičiavimo tikslumą:

10,536² = 111,0073.

Pakartotinai pritaikius formulę, klaida tapo visiškai nereikšminga.

Šaknies apskaičiavimas ilguoju padalijimu

Šis kvadratinės šaknies vertės nustatymo metodas yra šiek tiek sudėtingesnis nei ankstesni. Tačiau jis yra pats tiksliausias tarp kitų skaičiavimo metodų be skaičiuotuvo.

Tarkime, kad reikia rasti kvadratinę šaknį 4 skaitmenų po kablelio tikslumu. Išanalizuokime skaičiavimo algoritmą savavališko skaičiaus 1308.1912 pavyzdžiu.

Padalinkite popieriaus lapą į 2 dalis vertikalia linija, tada nubrėžkite kitą liniją iš jo į dešinę, šiek tiek žemiau viršutinio krašto. Parašykime skaičių kairėje pusėje, suskirstydami jį į grupes po 2 skaitmenis, judėdami į dešinę ir kairę nuo kablelio. Pats pirmasis skaitmuo kairėje gali būti be poros. Jei dešinėje skaičiaus pusėje trūksta ženklo, tuomet reikia pridėti 0. Mūsų atveju rezultatas bus 13 08.19 12.
Pažymime didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus pirmajai skaitmenų grupei. Mūsų atveju tai yra 3. Parašykime viršuje dešinėje; 3 yra pirmasis rezultato skaitmuo. Dešinėje apačioje nurodome 3×3 = 9; to reikės tolesniems skaičiavimams. Iš 13 stulpelyje atimame 9, gauname 4 likutį.
Kitą skaičių porą priskirkime likusiai 4; gauname 408.
Viršuje dešinėje esantį skaičių padauginkite iš 2 ir užrašykite jį apačioje dešinėje, pridėdami prie jo _ x _ =. Gauname 6_ x _ =.
Vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių, mažesnį arba lygų 408. Gauname 66 × 6 = 396. Rašome 6 iš viršaus dešinėje, nes tai yra antrasis rezultato skaitmuo. Iš 408 atimkite 396 ir gausime 12.
Pakartokime 3–6 veiksmus. Kadangi į apačią perkelti skaitmenys yra trupmeninėje skaičiaus dalyje, viršuje dešinėje po 6 reikia dėti kablelį. Dvigubą rezultatą užrašykime su brūkšneliais: 72_ x _ =. Tinkamas skaičius būtų 1: 721×1 = 721. Užrašykime kaip atsakymą. Atimkime 1219 – 721 = 498.
Ankstesnėje pastraipoje nurodytą veiksmų seką atlikime dar tris kartus, kad gautume reikiamą skaičių po kablelio. Jei tolimesniems skaičiavimams nepakanka simbolių, prie esamo skaičiaus kairėje turite pridėti du nulius.

Dėl to gauname atsakymą: √1308.1912 ≈ 36.1689. Jei veiksmą patikrinsite naudodami skaičiuotuvą, galėsite įsitikinti, kad visi ženklai buvo nustatyti teisingai.

Bitinių kvadratinių šaknų skaičiavimas

Metodas yra labai tikslus. Be to, tai gana suprantama ir nereikalauja įsiminti formulių ar sudėtingo veiksmų algoritmo, nes metodo esmė yra pasirinkti teisingą rezultatą.

Išskirkime skaičiaus 781 šaknį. Išsamiai pažvelkime į veiksmų seką.

Sužinokime, kuris kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo bus reikšmingiausias. Norėdami tai padaryti, pakelkime kvadratą 0, 10, 100, 1000 ir tt ir išsiaiškinkime, tarp kurių iš jų yra radikalusis skaičius. Mes gauname 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Pasirinkime dešimčių reikšmę. Norėdami tai padaryti, paeiliui didinsime laipsnius 10, 20, ..., 90, kol gausime skaičių, didesnį nei 781. Mūsų atveju gausime 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. rezultato n reikšmė bus 20 ribose< n <30.
Panašiai kaip ir ankstesniame žingsnyje, pasirenkama vienetų skaitmens reikšmė. Padėkime kvadratu 21,22, ..., 29 po vieną: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Gausime, kad 7824.< n < 28.
Kiekvienas paskesnis skaitmuo (dešimtosios, šimtosios ir kt.) apskaičiuojamas taip pat, kaip parodyta aukščiau. Skaičiavimai atliekami tol, kol pasiekiamas reikiamas tikslumas.