Trikampiai kampai. Pristatymas "daugiakampis kampas" Vertikalūs daugiakampiai kampai
1 skaidrė
IŠGAUTOJI DALISKAMPAI Daugiakampis kampas vadinamas išgaubtu, jei jis yra išgaubta figūra, tai yra, kartu su bet kuriais dviem jos taškais, jame yra visa juos jungianti atkarpa. Paveiksle pateikti išgaubtų ir neišgaubtų daugiakampių kampų pavyzdžiai. Teorema. Išgaubto daugiakampio kampų visų plokštumos kampų suma yra mažesnė nei 360°.
2 skaidrė
IŠGAUTOJI POLIEDAI Daugiakampis kampas vadinamas išgaubtu, jei jis yra išgaubta figūra, t. y. kartu su bet kuriais dviem taškais jame yra juos jungianti atkarpa. Paveiksle pateikti išgaubtos ir neišgaubtos piramidės pavyzdžiai. Kubas, gretasienis, trikampė prizmė ir piramidė yra išgaubti daugiakampiai.
3 skaidrė
1 Savybė 1 savybė. Išgaubtame daugiakampyje visi paviršiai yra išgaubti daugiakampiai. Iš tiesų, tegul F yra koks nors daugiakampio M paviršius, o taškai A ir B priklauso paviršiui F. Iš daugiakampio M išgaubtumo sąlygos darytina išvada, kad atkarpa AB visa apima daugiasparnį M. Kadangi tai segmentas yra daugiakampio F plokštumoje, jis bus visiškai įtrauktas į šį daugiakampį, t. y. F yra išgaubtas daugiakampis.
4 skaidrė
2 SAVYBĖ Iš tiesų, tegul M yra išgaubtas daugiakampis. Paimkime kokį nors vidinį daugiakampio M tašką S, t.y. tašką, nepriklausantį jokiam daugiakampio M paviršiui. Tašką S sujungsime atkarpomis su daugiakampio M viršūnėmis. Atkreipkite dėmesį, kad dėl daugiasparnio M išgaubimo visi šie segmentai yra M. Apsvarstykite piramides su viršūne S, kurių pagrindai yra daugiakampio M paviršiai. Šios piramidės yra visiškai M, ir jos kartu sudaro daugiakampis M. Savybė 2. Bet kuris išgaubtas daugiakampis gali būti sudarytas iš piramidžių, turinčių bendrą viršūnę, kurių pagrindai sudaro daugiakampio paviršių.
5 skaidrė
1 pratimas Paveiksle pažymėkite išgaubtas ir neišgaubtas plokštumos figūras. Atsakymas: a), d) – išgaubtas; b), c) – neišgaubtas.
6 skaidrė
2 pratimas Ar išgaubtų figūrų sankirta visada yra išgaubta figūra? Atsakymas: Taip.
7 skaidrė
3 pratimas Ar išgaubtų figūrų sąjunga visada yra išgaubta figūra? Atsakymas: Ne.
8 skaidrė
4 pratimas Ar galima sudaryti išgaubtą tetraedrinį kampą su šiais plokščiaisiais kampais: a) 56o, 98o, 139o ir 72o; b) 32o, 49o, 78o ir 162o; c) 85o, 112o, 34o ir 129o; d) 43o, 84o, 125o ir 101o. Nėra atsakymo; b) taip; c) ne; d) taip.
9 skaidrė
5 pratimas Paveiksle pažymėkite išgaubtą ir neišgaubtą daugiakampį. Atsakymas: b), d) – išgaubtas; a), c), d) – neišgaubtas.
10 skaidrės
6 pratimas Ar neišgaubtas daugiakampis gali būti išgaubto daugiakampio paviršius? Atsakymas: Ne.
1 skaidrė
2 skaidrė
Teorema. Trikampio kampo plokštumos kampų suma yra mažesnė nei 360, o bet kurių dviejų iš jų suma yra didesnė už trečiąją. Duota: Оabc – trikampis kampas; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Pagrindinė trikampio kampo savybė. Įrodykite: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
3 skaidrė
Įrodymas I. Tegul< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
4 skaidrė
Trijų kosinusų formulė. Pasekmės. 1) Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikoma formulė: 2) Kampas tarp tiesės ir plokštumos yra mažiausias iš kampų, kuriuos ši tiesė sudaro su šios plokštumos tiesiomis linijomis.
5 skaidrė
II. Šio kampo kraštuose dedame taškus A’, B’ ir C’ taip, kad |OA’| = |OB'| = |OC'| Tada trikampiai A’OB’, B’OC’ ir C’OA’ yra lygiašoniai, o jų kampai ties pagrindais 1 – 6 yra smailieji. Trikampiams kampams su viršūnėmis A', B' ir C' taikome I pastraipoje įrodytas nelygybes: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
6 skaidrė
III. Apsvarstykime spindulį c’ – papildantį spindulį c, o trikampio kampui Оabc – savavališkam trikampio kampui naudojame II pastraipoje įrodytą nelygybę: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Kitos dvi nelygybės įrodomos panašiai. Duota: Оabc – trikampis kampas; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Įrodykite: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + > . Su'
7 skaidrė
Pasekmė. Taisyklingoje trikampėje piramidėje plokštumos kampas viršūnėje yra mažesnis nei 120.
8 skaidrė
Apibrėžimas. Trikampiai kampai yra lygūs, jei visi atitinkami plokštumos ir dvikampiai kampai yra lygūs. Trikampių kampų lygybės ženklai. Trikampiai kampai yra lygūs, jei jie turi atitinkamai vienodus: du plokštumos kampus ir dvikampį tarp jų; 2) du dvikampiai kampai ir plokščiasis kampas tarp jų; 3) trys plokšti kampai; 4) trys dvikampiai kampai. Ryžiai. 4b
9 skaidrė
. . Duotas trikampis kampas Oabc. Leisti< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
10 skaidrė
II. Tegu > 90 ; > 90, tada apsvarstykite spindulį c’, papildantį c, ir atitinkamą trikampį kampą Oabc’, kuriame plokštumos kampai – ir – yra smailieji, o plokštumos kampas ir dvikampis yra vienodi. Pagal I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Dvikampiai kampai Darbą baigė: matematikos mokytoja L. A. Serebryanskaya.
Dvikampis kampas yra erdvės dalis, uždaryta tarp dviejų pusiau plokštumų, turinčių vieną bendrą ribą.
Pusplokštumos α ir β, sudarančios dvikampį, vadinamos jo paviršiais
Dvikampio kampo kraštinėje A D parinksime savavališką tašką C ir per jį nubrėžkime plokštumą α, statmeną briauninei AP. Plokštuma α kerta dvikampio kampo paviršius išilgai spindulių a ir b, kurie sudaro tam tikrą kampą dydis φ. Šis kampas vadinamas linijiniu dvikampiu
Kai susikerta dvi plokštumos, susidaro keturi dvikampiai kampai. Mažesniojo iš šių dvikampių kampų dydis vadinamas kampu tarp šių plokštumų.
Jei plokštumos lygiagrečios, kampas tarp jų pagal apibrėžimą yra 0°. Jei φ yra kampas tarp dviejų plokštumų, tada 0°
Uždavinys Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 raskite kampą tarp plokštumų BC 1 D ir BA 1 D. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
Duotas uždavinys: kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Raskite: kampas tarp plokštumų BC 1 D ir BA 1 D Sprendimas: A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O ∆ BDA 1 ir ∆ DC 1 B – lygūs lygiašoniai AO ir C 1 O yra statmenos DB =» A 1 O C 1 norimas C 1 O yra kvadrato, kurio kraštinė lygi 1, įstrižainė.
http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t = 320
Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos
Viena iš pagrindinių stereometrijos temų yra tema „Diedraliniai kampai“. Nepaisant to, kad mokiniai lengvai išmoksta dvikampio kampo ir jo tiesinio kampo sąvokas, sprendžiant...
Dvikampis kampas yra figūra, sudaryta iš tiesios linijos. a ir dvi pusiau plokštumos su bendra riba a , nepriklausantis tai pačiai plokštumai.
Tiesiai a – dvikampis kraštas
a
Kasdieniame gyvenime dažnai susiduriame su objektais, kurie turi dvikampio kampo formą. Tokie objektai – dvišlaičiai pastatų stogai, pusiau atversta knyga, kambario siena kartu su grindimis ir kt.
Dvi pusplokštumos – dvikampio kampo paviršiai
Linijinio kampo konstravimo algoritmas.
Kampas ROK – dvisienio kampo tiesinis kampas P DE K.
Dvikampio kampo laipsnio matas yra jo tiesinio kampo laipsnio matas.
Trikampiai ir daugiakampiai kampai
Supažindinti su trikampio ir daugiakampio kampų apibrėžimu;
Susipažinkite su įvairiais daugiakampių kampų tipais;
Išstudijuokite daugiakampių kampų savybes ir išmokite jas pritaikyti sprendžiant uždavinius.
DAUGIAKADĖS KAMPAI
Paviršius, sudarytas iš baigtinės plokštumos kampų rinkinio A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 su bendru viršumi S, kuriame gretimi kampai neturi bendrų taškų, išskyrus bendro spindulio taškus, o negretimi kampai neturi bendrų taškų, išskyrus bendrą viršūnę, bus vadinami daugiakampiu paviršiumi.
Figūra, kurią sudaro nurodytas paviršius ir viena iš dviejų jo ribojamų erdvės dalių, vadinama daugiakampiu kampu. Bendras viršus S vadinama daugiakampio kampo viršūne. Spinduliai S.A. 1 , …, S.A. n vadinami daugiakampio kampo briaunomis, o patys plokštumos kampai A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 – daugiakampio kampo paviršiai. Daugiakampis kampas žymimas raidėmis S.A. 1 … A n, nurodant viršūnę ir taškus jos kraštuose.
DAUGIAKADĖS KAMPAI
Priklausomai nuo veidų skaičiaus, daugiakampiai kampai yra trikampiai, tetraedriniai, penkiakampiai ir kt.
TRIJOS KAMPAI
Teorema. Kiekvienas trikampio kampo plokštumos kampas yra mažesnis už kitų dviejų jo plokštumos kampų sumą.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
TRIJOS KAMPAI
Su turtu. Trikampio kampo plokštumos kampų suma yra mažesnė nei 360.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
IŠGAUTĖS DALIS KAMPAI
Daugiakampis kampas vadinamas išgaubtu, jei jis yra išgaubta figūra, ty kartu su bet kuriais dviem taškais jame yra juos jungianti atkarpa. Paveiksle pateikti išgaubtų ir neišgaubtų daugiakampių kampų pavyzdžiai.
Nuosavybė. Išgaubto daugiakampio kampų visų plokštumos kampų suma yra mažesnė nei 360°.
Vertikalūs daugiakampiai kampai
Paveiksluose pateikti trikampio, tetraedrinio ir penkiakampio vertikalių kampų pavyzdžiai
Teorema. Vertikalūs kampai yra lygūs.
Daugiakampių kampų matavimas
Kadangi išsivysčiusio dvikampio kampo laipsnio reikšmė matuojama atitinkamo tiesinio kampo laipsnio verte ir yra lygi 180 °, manysime, kad visos erdvės, kurią sudaro du išvystyti dvikampiai kampai, laipsnio reikšmė yra lygi 360 °. Daugiakampio kampo dydis, išreikštas laipsniais, parodo, kiek vietos užima tam tikras daugiakampis kampas. Pavyzdžiui, kubo trikampis kampas užima aštuntadalį erdvės, todėl jo laipsnio reikšmė yra 360 o: 8 = 45 o. Teisingas trikampis kampas n-kampinė prizmė yra lygi pusei dvikampio kampo prie šoninio krašto. Atsižvelgiant į tai, kad šis dvikampis yra lygus, gauname, kad prizmės trikampis kampas yra lygus.
1 pratimas
Ar gali būti trikampis kampas su plokščiaisiais kampais: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Nėra atsakymo;
2 pratimas
Pateikite daugiakampių pavyzdžių, kurių paviršiai, susikertantys viršūnėse, sudaro tik: a) trikampius kampus; b) tetraedriniai kampai; c) penkiakampiai kampai.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: a) Tetraedras, kubas, dodekaedras;
b) oktaedras;
c) ikosaedras.
3 pratimas
Du trikampio kampo plokštumos kampai yra 70° ir 80°. Kokios yra trečiosios plokštumos kampo ribos?
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: 10 val 
1. Paveikslėlyje pavaizduotas daugiakampis, visi daugiakampio dvikampiai kampai yra statūs. Raskite atstumą tarp viršūnių A ir C2
Pagal Pitagoro teoremą apsvarstykite statųjį trikampį
3. Raskite paveikslėlyje pavaizduoto daugiakampio kampą CAD2. Visi daugiakampio dvikampiai kampai yra stačiakampiai. Atsakymą pateikite laipsniais.
Apsvarstykite trikampį CAD2, kur AC = CD2 = AD2, nes jie yra lygių kvadratų įstrižainės, todėl trikampis CAD2 yra lygiakraštis, todėl visi jo kampai lygūs 60°.
4. Raskite paveiksle pavaizduoto daugiakampio kampą ABD. Visi daugiakampio dvikampiai kampai yra stačiakampiai. Atsakymą pateikite laipsniais.
Atkreipkite dėmesį, kad ABCD yra kvadratas, kurio kraštinė yra 2, o BD yra jo įstrižainė. Tai reiškia, kad trikampis ABD yra stačiakampis ir lygiašonis, AB=AD. Kampas ABD yra 45°.
5. Paveikslėlyje pavaizduotas daugiakampis, visi daugiakampio dvikampiai kampai yra stačiakampiai. Raskite atstumo tarp viršūnių B2 ir D3 kvadratą.
6. Paveikslėlyje pavaizduotas daugiakampis, visi daugiakampio dvikampiai kampai yra stačiakampiai. Raskite atstumo tarp viršūnių A ir C3 kvadratą.
7. Raskite paveikslėlyje pavaizduoto daugiakampio kampą EAD2. Visi daugiakampio dvikampiai kampai yra stačiakampiai. Atsakymą pateikite laipsniais.
5 pratimas
Trikampiame kampe du plokštumos kampai lygūs 45°; dvikampis kampas tarp jų yra teisingas. Raskite trečiąjį plokštumos kampą.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: 6 0 o.
6 pratimas
Trikampio kampo plokštumos kampai yra 60°, 60° ir 90°. Jo kraštuose nuo viršūnės išdėstyti vienodi segmentai O.A. , O.B. , O.C. . Raskite dvikampį kampą tarp 90° kampo plokštumos ir plokštumos ABC .
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: 9 0 o.
7 pratimas
Kiekvienas trikampio kampo plokštumos kampas yra 60°. Viename iš jos kraštų nuo viršaus nuleidžiamas 3 cm segmentas, o iš jo galo į priešingą pusę nuleidžiamas statmenas. Raskite šio statmens ilgį.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: žr
8 pratimas
Raskite trikampio kampo vidinių taškų vietą vienodu atstumu nuo jo paviršių.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: Spindulys, kurio viršūnė yra trikampio kampo viršūnė, esanti ant plokštumų, dalijančių dvikampius kampus per pusę, susikirtimo linijos.
9 pratimas
Raskite trikampio kampo, vienodu atstumu nuo jo kraštinių, vidinių taškų vietą.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: Spindulys, kurio viršūnė yra trikampio kampo viršūnė, esanti ant plokštumų, einančių per plokštumos kampų pusiausvyras ir statmenų šių kampų plokštumoms, susikirtimo tiesėje.
10 pratimas
Raskite apytiksles tetraedro trikampių kampų vertes.
Tetraedro dvikampiams kampams turime:
Iš kur atsiranda 70 apie 30?
Tetraedro trikampiams kampams turime:
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: 15 apie 45".
11 pratimas
Raskite apytiksles oktaedro tetraedrinių kampų vertes.
Dėl oktaedro dvikampių kampų turime:
Iš kur atsiranda 109 ar 30?
Tetraedriniams oktaedro kampams turime:
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: 38 apie 56".
12 pratimas
Raskite apytiksles ikosaedro penkiaedrų kampų vertes.
Ikozaedro dvikampiams kampams turime:
Kur yra 138 apie 11".
Ikozaedro penkiakampiams kampams turime:
Atsakymas: 75 apie 28".
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
13 pratimas
Raskite apytiksles dodekaedro trikampių kampų vertes.
Dodekaedro dvikampiams kampams turime:
Kur yra 116 apie 3 4".
Dodekaedro trikampiams kampams turime:
Atsakymas: 84 apie 51 ".
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
14 pratimas
Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD pagrindo kraštinė 2 cm, aukštis 1 cm Raskite šios piramidės viršuje esantį keturkampį kampą.
Sprendimas: nurodytos piramidės padalija kubą į šešias lygias piramides, kurių viršūnės yra kubo centre. Vadinasi, 4 pusių kampas piramidės viršuje yra šeštadalis 360 laipsnių kampo, t.y. lygus 60 o.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: 60 o.
15 pratimas
Taisyklingoje trikampėje piramidėje šoninės briaunos lygios 1, kampai viršūnėje yra 90 laipsnių. Raskite trikampio kampą šios piramidės viršūnėje.
Sprendimas: nurodytos piramidės padalijo oktaedrą į aštuonias lygias piramides, kurių viršūnės yra centre O oktaedras. Vadinasi, 3 pusių kampas piramidės viršuje yra viena aštuntoji 360 laipsnių kampo, t.y. lygus 45 o.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
Atsakymas: 45 o.
16 pratimas
Taisyklingoje trikampėje piramidėje šoninės briaunos lygios 1, o aukštis Raskite trikampio kampą šios piramidės viršūnėje.
Sprendimas: nurodytos piramidės padalijo taisyklingą tetraedrą į keturias lygias piramides, kurių viršūnės yra centre O tetraedras. Vadinasi, 3 pusių kampas piramidės viršuje yra ketvirtadalis 360 laipsnių kampo, t.y. lygus 90 o.
Skaidrių režimu atsakymas pasirodo spustelėjus pelę.
