Üçbucaqlı bucaqlar. Təqdimat "Çoxüzlü bucaq" Şaquli çoxüzlü bucaqlar
1 slayd
QABARLI ÇOXÜZLÜ BUÇAQLAR Çoxüzlü bucaq qabarıq fiqurdursa, yəni hər hansı iki nöqtəsi ilə birlikdə onları birləşdirən seqmenti bütünlüklə ehtiva edərsə qabarıq adlanır. Şəkildə qabarıq və qabarıq olmayan çoxüzlü bucaqların nümunələri göstərilir. Teorem. Qabarıq çoxüzlü bucağın bütün müstəvi bucaqlarının cəmi 360°-dən azdır.
2 slayd
QABARLI POLİHEDLƏR Çoxüzlü bucaq qabarıq fiqurdursa qabarıq adlanır, yəni hər hansı iki nöqtəsi ilə birlikdə onları birləşdirən seqmenti ehtiva edir. Şəkildə qabarıq və qabarıq olmayan piramida nümunələri göstərilir. Kub, paralelepiped, üçbucaqlı prizma və piramida qabarıq çoxüzlüdür.
3 sürüşdürmə
XÜSUSİYYƏT 1 Xüsusiyyət 1. Qabarıq çoxbucaqlıda bütün üzlər qabarıq çoxbucaqlıdır. Həqiqətən, F çoxüzlü M-in hansısa üzü olsun, A və B nöqtələri isə F üzünə aid olsun. M çoxüzlülüyün qabarıqlıq şərtindən belə çıxır ki, AB seqmenti bütünlüklə M çoxüzlülüyündə yerləşir. seqment F çoxbucaqlısının müstəvisində yerləşir, o, tamamilə bu çoxbucaqlıda yer alacaq, yəni F qabarıq çoxbucaqlıdır.
4 sürüşdürmə
XÜSUSİYYƏT 2 Həqiqətən, M qabarıq çoxbucaqlı olsun. M çoxüzlüünün bəzi daxili S nöqtəsini, yəni M çoxüzlüünün heç bir üzünə aid olmayan nöqtəni götürək. S nöqtəsini M çoxüzlünün təpələri ilə seqmentlərlə birləşdirək. Qeyd edək ki, M çoxüzlüünün qabarıqlığına görə bütün bu seqmentlər M-də yerləşir. Təpəsi S olan piramidaları nəzərdən keçirək, onların əsasları M çoxhərlisinin üzləridir. Bu piramidalar bütünlüklə M-də yerləşir və onlar birlikdə əmələ gətirirlər. polihedron M. Xüsusiyyət 2. İstənilən qabarıq çoxüzlü, əsasları çoxüzlü səthi təşkil edən ümumi təpəsinə malik piramidalardan ibarət ola bilər.
5 sürüşdürmə
İş 1 Şəkildə qabarıq və qabarıq olmayan müstəvi fiqurları göstərin. Cavab: a), d) – qabarıq; b), c) – qabarıq olmayan.
6 sürüşdürmə
Çalışma 2 Qabarıq fiqurların kəsişməsi həmişə qabarıq fiqurdurmu? Cavab: Bəli.
7 sürüşdürmə
İş 3 Qabarıq fiqurların birliyi həmişə qabarıq fiqurdurmu? Cavab: Xeyr.
8 slayd
İş 4 Aşağıdakı düz bucaqlarla qabarıq tetraedral bucaq yaratmaq olarmı: a) 56o, 98o, 139o və 72o; b) 32o, 49o, 78o və 162o; c) 85o, 112o, 34o və 129o; d) 43o, 84o, 125o və 101o. Cavab yoxdur; b) bəli; c) yox; d) bəli.
Slayd 9
İş 5 Şəkildə qabarıq və qabarıq olmayan çoxüzlüləri göstərin. Cavab: b), d) – qabarıq; a), c), d) – qabarıq olmayan.
10 slayd
İş 6 Qeyri qabarıq çoxbucaqlı qabarıq çoxbucaqlının üzü ola bilərmi? Cavab: Xeyr.
Slayd 1
Slayd 2
Teorem. Üçbucaqlı bucaqda müstəvi bucaqların cəmi 360-dan kiçik və hər ikisinin cəmi üçüncüdən böyükdür. Verilmişdir: Оabc – üçbucaqlı bucaq; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Üçbucaqlı bucağın əsas xüsusiyyəti. Sübut edin: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Slayd 3
Sübut I. Qoy< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Slayd 4
Üç kosinus düsturu. Nəticələr. 1) Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı hesablamaq üçün düstur tətbiq edilir: 2) Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucaq bu düz xəttin bu müstəvinin düz xətləri ilə yaratdığı bucaqların ən kiçikidir.
Slayd 5
II. Bu bucağın kənarlarında A', B' və C' nöqtələrini yerləşdiririk ki, |OA'| = |OB'| = |OC'| Onda A'OB', B'OC' və C'OA' üçbucaqları ikitərəflidir və 1 - 6 əsaslarındakı bucaqları kəskindir. A', B' və C' təpələri olan üçbucaqlı bucaqlar üçün I bənddə sübut edilmiş bərabərsizlikləri tətbiq edirik: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Slayd 6
III. C şüasını tamamlayan c' şüasını nəzərdən keçirək və Oabc' üçbucaqlı bucağı üçün ixtiyari üçbucaqlı bucaq üçün II bənddə sübut edilmiş bərabərsizlikdən istifadə edirik: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Digər iki bərabərsizlik də oxşar şəkildə sübut edilmişdir. Verilmişdir: Оabc – üçbucaqlı bucaq; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Sübut edin: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + > . ilə'
Slayd 7
Nəticə. Müntəzəm üçbucaqlı piramidada təpəsindəki müstəvi bucağı 120-dən azdır.
Slayd 8
Tərif. Bütün uyğun müstəvi və dihedral bucaqlar bərabər olarsa, üçbucaqlı bucaqlara bərabər deyilir. Üçbucaqlı bucaqların bərabərliyinin əlamətləri. Üçbucaqlı bucaqlar müvafiq olaraq bərabər olduqda bərabərdirlər: iki müstəvi bucaq və onların arasında dihedral bucaq; 2) iki dihedral bucaq və onların arasında düz bucaq; 3) üç düz bucaq; 4) üç dihedral bucaq. düyü. 4b
Slayd 9
. . Oabc üçbucaqlı bucağı verilmişdir. Qoy< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
Slayd 10
II. Qoy > 90; > 90, sonra c-ni tamamlayan c' şüasını və müstəvi bucaqlarının – və – iti olduğu, müstəvi bucağı ilə dihedral bucağın eyni olduğu müvafiq üçbucaqlı Oabc’ bucağını nəzərdən keçirin. I.-ə görə: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
Təqdimat önizləmələrindən istifadə etmək üçün Google hesabı yaradın və ona daxil olun: https://accounts.google.com
Slayd başlıqları:
Dihedral açılar İşi tamamladı: riyaziyyat müəllimi L. A. Serebryanskaya.
Dihedral bucaq bir ümumi sərhədi olan iki yarım müstəvi arasında qapalı məkanın bir hissəsidir.
Dihedral bucaq əmələ gətirən α və β yarımmüstəviləri onun üzləri adlanır
Dihedral bucağın A D kənarında ixtiyari C nöqtəsini seçək və onun vasitəsilə AP kənarına perpendikulyar olan α müstəvisini çəkək.. α müstəvisi dihedral bucağın üzlərini a və b şüaları boyunca kəsir, müəyyən bucaq əmələ gətirir. böyüklüyü φ. Bu bucaq xətti dihedral bucaq adlanır
İki təyyarə kəsişdikdə dörd dihedral bucaq əmələ gəlir. Bu dihedral bucaqların kiçiklərinin böyüklüyünə bu müstəvilər arasındakı bucaq deyilir.
Təyyarələr paraleldirsə, aralarındakı bucaq tərifə görə 0°-dir. Əgər φ iki müstəvi arasındakı bucaqdırsa, onda 0°-dir
Məsələ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubunda BC 1 D və BA 1 D müstəviləri arasındakı bucağı tapın. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
Məsələ verilmişdir: kub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Tapın: BC 1 D və BA 1 D müstəviləri arasındakı bucaq Həlli: A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O ∆ BDA 1 və ∆ DC 1 B – bərabər ikitərəfli AO və C 1 O DB-yə perpendikulyardır =» A 1 O C 1 istənilən C 1 O tərəfi 1-ə bərabər olan kvadratın diaqonalıdır.
http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t=320
Mövzu üzrə: metodoloji inkişaflar, təqdimatlar və qeydlər
Stereometriyanın əsas mövzularından biri “Dihedral bucaqlar” mövzusudur. Şagirdlərin dihedral bucaq və onun xətti bucağı anlayışlarını asanlıqla öyrənmələrinə baxmayaraq, həlli zamanı bir çox çətinliklər yaranır...
Dihedral bucaq düz xəttdən əmələ gələn fiqurdur. a və ümumi sərhədi olan iki yarım müstəvi a , eyni təyyarəyə aid deyil.
Düz a – dihedral kənar
a
Gündəlik həyatda biz tez-tez dihedral bucaq şəklində olan obyektlərlə qarşılaşırıq. Belə obyektlər binaların gable damları, yarım açılmış kitab, döşəmə ilə birlikdə otağın divarı və s.
İki yarım müstəvi - dihedral bucağın üzləri
Xətti bucağın qurulması alqoritmi.
ROK bucağı – dihedral bucağın xətti bucağı P DE K.
Dihedral bucağın dərəcə ölçüsü onun xətti bucağının dərəcə ölçüsüdür.
Üçüzlü və çoxüzlü bucaqlar
Üçüzlü və çoxüzlü bucaqların tərifini təqdim etmək;
Çoxüzlü bucaqların müxtəlif növləri ilə tanış olmaq;
Çoxüzlü bucaqların xassələrini öyrənin və onları məsələlərin həllində tətbiq etməyi öyrənin.
POLİÜZLÜ BUÇLAR
Sonlu müstəvi bucaqlar dəsti ilə əmələ gələn səth A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 ümumi üst ilə S, ümumi şüanın nöqtələri istisna olmaqla, qonşu bucaqların ortaq nöqtələri olmayan və qonşu olmayan künclərin ümumi təpədən başqa ortaq nöqtələri olmayan çoxüzlü səth adlanacaqdır.
Göstərilən səthin və onunla məhdudlaşan fəzanın iki hissəsindən birinin əmələ gətirdiyi fiqura çoxhərli bucaq deyilir. Ümumi üst Sçoxüzlü bucağın təpəsi adlanır. Şüalar S.A. 1 , …, S.A. nçoxüzlü bucağın kənarları, müstəvi bucaqların isə özləri adlanır A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 – çoxüzlü bucağın üzləri. Çoxüzlü bucaq hərflərlə göstərilir S.A. 1 … A n, təpə və onun kənarlarında nöqtələri göstərən.
POLİÜZLÜ BUÇLAR
Üzlərin sayından asılı olaraq çoxüzlü bucaqlar üçbucaqlı, tetraedral, beşbucaqlı və s.
Üçbucaqlı bucaqlar
Teorem. Üçbucaqlı bucağın hər bir müstəvi bucağı onun digər iki müstəvi bucağının cəmindən kiçikdir.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Üçbucaqlı bucaqlar
Əmlakla. Üçbucaqlı bucağın müstəvi bucaqlarının cəmi 360-dən azdır.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
QABARLI ÇOXÜZLÜ BUÇAQLAR
Çoxüzlü bucaq qabarıq bir fiqurdursa, yəni hər hansı iki nöqtəsi ilə birlikdə onları birləşdirən seqmenti tamamilə ehtiva edərsə, qabarıq adlanır. Şəkildə qabarıq və qabarıq olmayan çoxüzlü bucaqların nümunələri göstərilir.
Əmlak. Qabarıq çoxüzlü bucağın bütün müstəvi bucaqlarının cəmi 360°-dən azdır.
Şaquli çoxüzlü bucaqlar
Şəkillər üçbucaqlı, tetraedral və beşbucaqlı şaquli bucaqların nümunələrini göstərir
Teorem. Şaquli açılar bərabərdir.
Çoxüzlü bucaqların ölçülməsi
İnkişaf etmiş dihedral bucağın dərəcə dəyəri müvafiq xətti bucağın dərəcə dəyəri ilə ölçüldüyündən və 180 ° -ə bərabər olduğundan, iki inkişaf etmiş dihedral bucaqdan ibarət olan bütün məkanın dərəcə dəyərinin bərabər olduğunu qəbul edəcəyik. 360 °. Dərəcə ilə ifadə olunan çoxüzlü bucağın ölçüsü verilmiş çoxüzlü bucağın nə qədər yer tutduğunu göstərir. Məsələn, kubun üçbucaqlı bucağı məkanın səkkizdə birini tutur və buna görə də onun dərəcə qiyməti 360 o: 8 = 45 o-dur. Düzgün üçbucaq bucaq n-qonal prizma yan kənarındakı dihedral bucağın yarısına bərabərdir. Bu dihedral bucağın bərabər olduğunu nəzərə alsaq, prizmanın üçbucaqlı bucağının bərabər olduğunu alırıq.
Məşq 1
Düz bucaqlı üçbucaqlı bucaq ola bilərmi: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab yoxdur;
Məşq 2
Üzləri təpələrdə kəsişərək yalnız əmələ gələn çoxüzlülərə nümunələr göstərin: a) üçbucaqlı bucaqlar; b) tetraedral bucaqlar; c) beşbucaqlı bucaqlar.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: a) Tetraedr, kub, dodekaedr;
b) oktaedr;
c) ikosahedr.
Məşq 3
Üçbucaqlı bucağın iki müstəvi bucağı 70° və 80°-dir. Üçüncü müstəvi bucağın sərhədləri hansılardır?
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: 10 o 
1. Şəkil çoxüzlüdür, çoxüzlülərin bütün ikiüzlü bucaqları düz bucaqlıdır. A və C2 təpələri arasındakı məsafəni tapın
Pifaqor teoreminə görə düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək
3. Şəkildə göstərilən çoxbucaqlının CAD2 bucağını tapın. Çoxüzlülərin bütün dihedral bucaqları düz bucaqlardır. Cavabınızı dərəcələrlə verin.
CAD2 üçbucağını nəzərdən keçirək, burada AC = CD2 = AD2, çünki onlar bərabər kvadratların diaqonallarıdır.Ona görə də CAD2 üçbucağı bərabərtərəfli olduğu üçün onun bütün bucaqları 60°-ə bərabərdir.
4. Şəkildə göstərilən çoxbucaqlının ABD bucağını tapın. Çoxüzlülərin bütün dihedral bucaqları düz bucaqlardır. Cavabınızı dərəcələrlə verin.
Qeyd edək ki, ABCD tərəfi 2 olan kvadrat, BD isə onun diaqonalıdır.Bu o deməkdir ki, ABD üçbucağı düzbucaqlıdır və AB=AD ikitərəflidir. ABD bucağı 45°-dir.
5. Şəkildə çoxüzlü göstərilir, çoxüzlülərin bütün ikiüzlü bucaqları düz bucaqlıdır. B2 və D3 təpələri arasındakı məsafənin kvadratını tapın.
6. Şəkildə çoxüzlü göstərilir, çoxüzlülərin bütün ikiüzlü bucaqları düz bucaqlıdır. A və C3 təpələri arasındakı məsafənin kvadratını tapın.
7. Şəkildə göstərilən çoxbucaqlının EAD2 bucağını tapın. Çoxüzlülərin bütün dihedral bucaqları düz bucaqlardır. Cavabınızı dərəcələrlə verin.
Məşq 5
Üçbucaqlı bucaqda iki müstəvi bucaq 45°-ə bərabərdir; aralarındakı dihedral bucaq düzdür. Üçüncü müstəvi bucağını tapın.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: 6 0 o.
Məşq 6
Üçbucaqlı bucağın müstəvi bucaqları 60°, 60° və 90°-dir. Təpədən kənarlarında bərabər seqmentlər qoyulur O.A. , O.B. , O.C. . 90° bucaq müstəvisi ilə müstəvi arasındakı dihedral bucağı tapın ABC .
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: 9 0 o.
Məşq 7
Üçbucaqlı bucağın hər bir müstəvi bucağı 60°-dir. Kenarlarından birində yuxarıdan 3 sm-ə bərabər bir seqment qoyulur və ucundan qarşı tərəfə bir perpendikulyar düşür. Bu perpendikulyarın uzunluğunu tapın.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: bax
Məşq 8
Üzlərindən bərabər məsafədə olan üçbucaqlı bucağın daxili nöqtələrinin yerini tapın.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: Təpəsi üçbucaqlı bucağın təpəsi olan, ikibucaqlı bucaqları yarıya bölən müstəvilərin kəsişmə xəttində yerləşən şüa.
Məşq 9
Kenarlarından bərabər məsafədə olan üçbucaqlı bucağın daxili nöqtələrinin yerini tapın.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: Təpəsi üçbucaqlı bucağın təpəsi olan, müstəvi bucaqların bissektrisalarından keçən və bu bucaqların müstəvilərinə perpendikulyar olan müstəvilərin kəsişmə xəttində yerləşən şüa.
Məşq 10
Tetraedrin üçbucaqlı bucaqlarının təxmini dəyərlərini tapın.
Tetraedrin dihedral bucaqları üçün bizdə var:
70-30 haradan gəlir?
Tetraedrin üçbucaqlı bucaqları üçün:
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: 15 təxminən 45".
Məşq 11
Oktaedrin tetraedral bucaqlarının təxmini dəyərlərini tapın.
Oktaedrin dihedral bucaqları üçün bizdə var:
109 o 30 haradan gəlir?
Oktaedrin tetraedral bucaqları üçün bizdə var:
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: 38 təxminən 56".
Məşq 12
İkosaedrin pentaedral bucaqlarının təxmini dəyərlərini tapın.
İkosaedrin dihedral bucaqları üçün bizdə:
138 təxminən 11" haradadır.
İkosaedrin pentaedral bucaqları üçün bizdə:
Cavab: 75 təxminən 28".
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Məşq 13
Dodekaedrin üçbucaqlı bucaqlarının təxmini dəyərlərini tapın.
Dodekaedrin dihedral bucaqları üçün bizdə var:
116 təxminən 3 4" haradadır.
Dodekaedrin üçbucaqlı bucaqları üçün bizdə var:
Cavab: 84 təxminən 51 ".
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Məşq 14
Adi dördbucaqlı piramidada SABCD bünövrənin tərəfi 2 sm, hündürlüyü 1 sm.Bu piramidanın yuxarı hissəsindəki dörd tərəfli bucağı tapın.
Həlli: Göstərilən piramidalar kubu təpələri kubun mərkəzində olan altı bərabər piramidaya bölür. Nəticədə, piramidanın yuxarı hissəsindəki 4 tərəfli bucaq 360 dərəcə bucağın altıda birini təşkil edir, yəni. 60 o-a bərabərdir.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: 60 o.
Məşq 15
Müntəzəm üçbucaqlı piramidada yan kənarlar 1-ə bərabərdir, zirvədəki bucaqlar 90 dərəcədir. Bu piramidanın təpəsindəki üçbucaqlı bucağı tapın.
Həlli: Göstərilən piramidalar oktaedri təpələri mərkəzdə olan səkkiz bərabər piramidaya bölür. O oktaedr. Nəticədə, piramidanın yuxarı hissəsindəki 3 tərəfli bucaq 360 dərəcə bucağın səkkizdə bir hissəsidir, yəni. 45 o-a bərabərdir.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
Cavab: 45 o.
Məşq 16
Müntəzəm üçbucaqlı piramidada yan kənarlar 1-ə bərabərdir və hündürlük Bu piramidanın təpəsində üçbucaq bucağı tapın.
Həlli: Göstərilən piramidalar müntəzəm tetraedri mərkəzdə təpələri olan dörd bərabər piramidaya bölürlər. O tetraedr. Nəticədə, piramidanın yuxarı hissəsindəki 3 tərəfli bucaq 360 dərəcə bucağın dörddə bir hissəsidir, yəni. 90 o-a bərabərdir.
Slayd rejimində cavab siçan düyməsini basdıqdan sonra görünür.
